[공공선택이론] 11. 중위투표자정리와 호텔링원칙

이번 시간에는 과반수투표제에서 쉽게 나타나는 중위 투표자 정리와 호텔링의 원칙에 대해 알아보겠습니다.

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먼저 중위 투표자 정리(Median voter theorem)란 과반수 투표제 하에서 중위 투표자가 가장 선호하는 대안이 채택된다는 정리로, 이때 중위 투표자란 사회 구성원들을 어떤 대안에 대한 선호도를 순서대로 정렬했을 때 가운데에 위치한 구성원을 말합니다.

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중위 투표자 정리는 △ 일차원적인 투표, △ 2개의 대안, △ 선별적 투표 참여가 아닌 전원 참여, △ 완전 정보, △ 합리적인 개인 등을 가정하고 있습니다.

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이제 중위 투표자 정리를 직관적으로 이해해봅시다. 어떤 이슈에 대해 각 개인이 최적으로 생각하는 대안을 수직선 상에 표현했을 때 선호하는 인원의 분포가 아래와 같다고 가정하고, 대안 X와 Y에 대해서 집단 의사결정을 해보겠습니다.

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사회구성원들의 선호를 고려했을 때 X보다 적은 규모에 찬성하는 사람은 X와 Y 중에 X를 택할 것입니다(α)

그리고 Y보다 많은 규모에 찬성하는 사람은 X와 Y중에서 Y를 택할 것입니다(δ)

X와 Y 사이에서 최적이라고 생각하는 사람은 둘 중에 자신보다 더 가까운 규모로 택할텐데, X와 Y의 평균치에 비해서 적은 게 최적이라고 생각하는 사람은 X를 택할 것이고 그렇지 않은 사람은 Y를 택할 것입니다(β,γ)

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위 내용을 종합하면 X를 택하는 사람은 α+β, Y를 택하는 사람은 γ+δ만큼이 됩니다. 여기에서 주목할 부분은 양 극단입니다. X는 대안 중 왼쪽에 있기 때문에 X보다 왼쪽에 있는 모든 구성원의 지지를 얻게 되며, Y는 대안 중 오른쪽에 있기 때문에 Y보다 오른쪽에 있는 모든 구성원의 지지를 얻게 됩니다. 따라서 두 가지의 대안을 비교한다고 했을 때 극단의 지지를 더 많이 확보할수록 대안이 선택될 확률이 높아집니다. 그래서 대안들은 점점 가운데로 가게 됩니다.

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중위 투표자 정리의 대표적인 예시가 선거(그중에서도 양당제 하에서 선거)입니다.

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경선 단계에서는 각 후보자들이 정당 내의 중위투표자의 지지를 받아야 하기 때문에, 정당 이념에 맞추어 후보자들이 양 극단에 치우친 발언을 하고 지지를 유도하게 됩니다.

 

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하지만, 각 정당에서 경선을 통해 후보자가 선출되고 나면 본 선거에서는 전체 선거의 중위 유권자를 향해서 각 정당들이 중도적인 발언과 정책을 내놓게 됩니다. 이는 중위투표자가 지지하는 정당이 당선이 되기 때문입니다. 소위 각 이념 정당들이 '중도층을 확보하기 위해' 하는 행동들은 중위 투표자 정리에 근거하고 있습니다.

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공공재 공급에 있어서도 중위 투표자 정리가 적용될 수 있습니다. 특정 공공재에 대한 공급 규모를 투표한다고 했을 때 중위투표자가 원하는 수준의 공공재 규모로 공급될 것입니다.

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여기서 주의해야 할 것은 중위 투표자 정리로 선택된 수준이 효율성을 담보하는 것은 아니라는 점입니다. 중위 투표자는 투표자들 가운데 선호도가 중간이라는 것이지 사회 전체의 평균과 다를 수 있기 때문입니다.

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다음의 예를 보겠습니다. 사회 전체적으로 수요는 D이고 공급비용은 MC일 때 사회적 최적 규모는 z*입니다. 하지만, 중위투표자의 수요함수 dc에 따라 선호하는 규모가 zc라면 중위투표자에 의해 정해지는 공공재 공급규모는 zc이고 이때 비효율성의 크기는 △ABF에 해당합니다.

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호텔링의 법칙은 중위 투표자 정리를 일반화한 것입니다. 경제학자 H. Hotelling은 입지 선정, 투표 등 다양한 분야에서 가운데로 이동하는 것이 최적임을 밝혔습니다. 중위 투표자 정리는 호텔링의 법칙의 특수한 예에 해당한다고 이해하면 되겠습니다.

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모형의 형태를 좀 바꿔서 더 자세히 알아보겠습니다.

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직선상에 유권자들을 일렬로 나열하고 직선상의 대안을 선택하는 모형을 생각해보겠습니다.

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가정의 편의를 위해 직선상에 있는 유권자들의 분포는 고르게 분포하고 있다(균등분포)고 가정하겠습니다.

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두 대안 X, Y에 대해서 X쪽에 치우쳐 있는 유권자들은 X를 지지하고, Y쪽에 치우쳐져 있는 구성원들은 Y를 지지하게 됩니다.

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중위투표자 정리에서 본 것처럼 두 대안 X, Y는 양 극단의 지지를 더 확보하기 위해서 가운데인 C로 이동할 유인을 갖습니다. 그리고 두 대안이 가운데에 도달하게 되면, 가운데를 벗어나는 순간 지지율이 떨어지기 때문에 가운데를 벗어나지 않습니다. 따라서, 중위 투표자 정리(호텔링 법칙)에 따라 가운데 대안은 내쉬 균형에 해당합니다.

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그런데 대안이 3개가 될 경우에도 가운데 대안이 내쉬 균형이 될까요? 결론부터 말하면 그렇지 않습니다.

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예컨대 세 가지 대안 X, Y, Z가 있다고 가정하고, 정 가운데는 C로 표현하겠습니다. 그리고 X와 Y의 가운데가 P, Y와 Z의 가운데가 Q라고 할 때 X는 P를 기준으로 좌측에 있는 유권자의 지지를 받습니다. 그리고 Y는 P와 Q사이의 유권자의 지지를 받습니다. 그리고 Z는 Q를 기준으로 우측에 있는 유권자의 지지를 받습니다.

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이 상황에서 X와 Y가 자신의 지지층을 넓히기 위해 가운데인 C로 왔다고 가정해보겠습니다.

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그렇게 되면 아래쪽처럼 X와 Y는 C에 수렴하여 Q의 왼쪽부분을 반반씩 나눠갖게 되고, Z는 Q보다 오른쪽을 모두 가지게 됩니다. 이 때 만약 X가 조금이라도 C의 왼쪽으로 움직이게 되면, X는 C의 왼쪽의 모든 유권자의 지지를 받게 되어 현재보다 더 많은 지지층을 얻을 수 있습니다.

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그래서 결론적으로 위 그림처럼 C보다 약간 왼쪽에 있는 모든 유권자의 선택을 받게 되어 X는 왼쪽으로 이탈할 유인이 생기게 됩니다. 그래서 일반적으로 대안이 3개 이상 있는 경우에는 대안들의 내쉬 균형이 존재하지 않는다고 알려져 있습니다.

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이 이론은 특히 정치와 관련하여 함의를 갖습니다. 사실상 양당제로 운영되는 국가에서는 각 정당들이 중도지지층을 확보하기 위해 두 정당의 이념이 중간으로 수렴하는 것이 일반적입니다. 하지만, 다당제 국가에서는 중도층을 확보하는 것이 자칫 양 진영의 전통적인 지지층을 잃어버릴 수 있기 때문에 자신의 지지층을 확고히 하는 방향으로 전략을 세우게 됩니다.

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다음 시간에는 유권자들의 전략적 행위인 표 거래 행위와 투표 연합에 대해 알아보겠습니다.

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