[심화] 조세에 의한 공공재 공급

조세에 의한 공공재 공급의 비효율성을 따져보기 위해 다음의 예를 들어 보겠습니다.

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사용재X, 공공재G가 있고 1인당 노동L이 공급된다고 가정해보겠습니다. 그리고 이 경제의 구성원 수는 H입니다.

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편의상 노동의 가격(PL)은 1이라고 하겠습니다.

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이 경제에서 생산가능곡선은 다음과 같습니다.

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PX∑Xh + PGG = ∑Lh

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이때 각 개인의 선호가 모두 동일하다고 가정하면 1인당 노동공급량이나 개개인이 택하는 X, G 조합이 모두 동일할 것이므로 위 식은 다음과 같이 바꿔쓸 수 있습니다.

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PXHX+PGG = HL

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이제 각 개인에게 T의 정액세와 tx만큼의 물품세가 부과된다고 해보겠습니다. 이 경우 각 개인의 효용 극대화 식은 다음과 같이 표현가능합니다.

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위와 같은 효용극대화 식을 토대로 라그랑지 식을 구성하면 다음의 결과를 얻습니다.

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여기서 라그랑지 승수(λ)는 소득의 한계효용임을 알 수 있습니다.

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한편 정부는 생산가능곡선 경계상에서 자신의 편익을 극대화 하는데, 이때 후생이 개인의 단순 효용합으로 표현된다고 하면 라그랑지 식은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

이제 위 식을 G에 대해 편미분하면 다음을 얻습니다.

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그런데 개인의 소득제약식 (PX+tX)X=L-T를 G에 대해 미분하면 아래와 같은 식 (2)를 얻습니다.

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이제 식(2)를 식(1)에 대입하면 다음과 같은 식(3)을 얻습니다.

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이제 우리가 첫 번째 라그랑지 식에서 얻었던 λ=-δu/δL을 대입하여 식(3)의 좌변만을 정리하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

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즉 좌변은 공공재의 가격(PG)을 가리키지만, 우변은 PG와 상이한 어떤 값을 뜻합니다. 즉 개인에게 세금을 부과하게 될 경우 비효율이 발생하게 됨을 알 수 있습니다.

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