[보충] 공공재의 균형조건 유도

이 글에서는 지난 글에서 얘기했던 공공재의 균형조건을 다양한 방식을 활용해서 수식을 활용해 유도해보겠습니다.

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전반적인 내용은 다음 글을 참고해주기 바랍니다.

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https://fromonetoten.tistory.com/227

[시장실패이론] 05. 공공재의 의미와 균형조건

 

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첫 번째 방법

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공공재의 한계편익(Marginal Benefit;MB)을 생각해보겠습니다. 한계편익은 공공재 1단위를 소비함으로써 얻게 되는 소비자의 이익인데, 사용재에서 한계수입(Marginal Revenue;MR)과 유사하게 이해하면 됩니다.

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공공재는 비경합성과 비배제성을 가지므로 각 개인의 편익의 합이 전체 편익이 됩니다.

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MB = MBZA + MBZB

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반면 한계비용은 각자가 부담하는 비용이 공공재의 한계비용과 동일합니다.

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MC = MCZA = MCZB

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시장 전체적으로 균형이 되기 위해서는 MB=MC여야 하므로 균형조건은 다음과 같습니다.

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MBZA+MBZB = MCZ (보웬의 조건)

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또한, 한계편익 식에서 양변을 MC로 나누면 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.

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MRSZXA+MRSZXB = MRTZX

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두 번째 방법

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예컨대 두 명의 소비자 A와 B가 있다고 하겠습니다. 이 두 소비자의 소비량은 다음과 같습니다.

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ZA = ZB = Z

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공공재의 특성인 비경합성과 비배제성에 의해 두 소비자의 소비수준은 Z로 동일합니다.

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이제 소비자 B의 효용극대화 식을 세워보면 다음과 같습니다.

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여기서 X는 사용재, F(X,Z)는 생산가능함수(PPC)입니다.

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이제 위 효용극대화 식을 랑그랑지 함수로 변환하면 다음과 같습니다.

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위 라그랑지 식으로부터 람다 값들이 다음과 같이 유도됩니다.

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두 람다 값을 이용하여 마지막 식에 대입하면 다음의 결과를 얻습니다.

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이제 양변을 MUXB​로 나누고, MRS 형태로 표현하면 다음과 같습니다.

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세 번째 방법

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이번에는 사회후생함수를 극대화하는 조건을 통해 최적 조건을 도출해보겠습니다.

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두 개인 A, B가 있다고 가정하고, 사용재 X, 공공재 Z에 대해서 공공재는 사용재에 대한 소비세를 통해 수입을 확보하여 공급된다고 가정하면, 다음의 사회후생 극대화 식을 얻을 수 있습니다.

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위 식에서 랑그랑지안 함수를 각 변수로 미분하면 다음의 결과를 얻습니다.

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위의 두 식에서 다음을 유도할 수 있습니다.

이 식을 라그랑지안 미분의 세 번째 식에 대입하면 다음을 얻습니다.

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