[소비자이론] 위험과 불확실성 이론의 개념

이번 포스트에서는 위험과 불확실성 이론에 대한 기본적인 개념을 먼저 살펴보겠습니다.

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불확실성 하에서 의사결정은 조건부상품시장에서 이루어집니다.

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조건부상품시장(Contingent Commodity Market)은 여러 가지 상황이 나타날 수 있을 때 그 실현된 상황에 따라 그 가치가 달라지는 상품을 말합니다. 따라서 이때 실현되는 상황의 빈도는 확률분포로서 정해지며 이 확률분포를 알고 있을 경우 위험(risk) 하 의사결정에 해당하며, 확률분포를 모를 경우 불확실성(uncertainty) 하 의사결정이 됩니다.

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소비자이론에서는 주로 위험에 대한 개인의 성향과 그에 따른 효용을 살펴보겠습니다.

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먼저 개개인의 위험에 대한 성향은 크게 세 가지로 나눌 수 있습니다.

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1) 위험기피(risk averse) 성향은 기대치가 동일하면 안전자산에 대해서 더 선호하는 경향을 가리킵니다.

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2) 위험중립(risk neutral) 성향은 기대치가 동일하면 위험정도에 관계없이 동일하게 느끼는 성향입니다.

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3) 위험애호(risk loving) 성향은 기대치가 동일할 경우 위험자산에 대해 더 선호하는 경향을 말합니다.

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위험과 불확실성을 분석하기 위해 우리는 재화-효용 평면과 재화-재화 평면 두 가지를 활용할 것입니다.

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그리고 위험과 불확실성의 개념을 그래프를 통해 확인해보겠습니다.

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먼저 재화-효용 평면부터 보겠습니다.

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조건부 상품시장에서 p의 확률로 높은 소득을 얻을 경우를 Xg, (1-p)의 확률로 낮은 소득을 얻을 경우를 Xb라고 하겠습니다. 그리고 그때의 효용을 각각 Ug, Ub라고 합니다.

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1) 기대소득(expected income)이란 위험과 불확실성 상황에서 기대되는 소득의 크기를 말합니다.

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쉽게말하면 기대소득은 소득에 대한 기댓값입니다. 수식은 E(X)=px1+(1-p)x2입니다.

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2) 기대효용(expected utility)은 위험과 불확실성 하에서 기대되는 효용의 크기입니다.

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즉 기대효용은 효용에 대한 기댓값으로 E(U(X))=pU(x1)+(1-p)U(x2)가 됩니다. E(U(X))는 편의상 EU(X)로 합니다. 그래프에서 기대소득의 위치는 점A이고, 기대효용의 위치는 점B입니다.

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이제 주목할 것은 이 그래프에서 기대소득의 효용인 U(E(X))가 기대효용EU(X)와 값보다 크다는 점입니다.

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이것은 위험자산의 기댓값에 비해 효용을 덜 느낀다는 것이므로 위험을 기피하는 성향임을 알 수 있습니다.

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예컨대 동전던지기를 했을 때 기댓값이 100원이라면 위험기피자는 동전던지기에 대한 효용보다 100원에 대한 효용이 더 큽니다.

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처음보면 두 개념이 헷갈릴 수 있기 때문에 기대소득과 기대효용에 대한 두 가지 명제를 살펴보면서 개념을 확인하고 넘어가겠습니다.

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a. E(X)(=기대소득)는 같아도 EU(X)(=기대효용)는 다를 수 있다. (O)

보수구조가 (Xb1, Xg1), (Xb2, Xg2)인 두 게임에 대해서 기댓값이 동일하더라도

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그 때 각각의 기대효용은 EU1(X), EU2(X)로 다르게 나타날 수 있습니다.

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b. 기대소득이 무한대이면 기대효용도 무한대이다. (X)

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위험애호자는 기대효용이 기대소득의 효용보다 크므로 기대소득이 무한대이면 기대효용도 무한대가 성립합니다.

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위험중립자는 기대효용과 기대소득의 효용이 같으므로 역시 무한대로 성립합니다.

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위험기피자는 기대효용이 기대소득의 효용보다 작으므로 기대소득이 무한대라고 해도 기대효용은 유한할 수 있습니다.

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대표적인 것이 상트페테르부르크 역설입니다.

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게임을 했을 때 효용함수와 각 보수, 보수에 대한 확률은 아래와 같습니다.

이때 기대소득은 다음과 같이 무한대가 됩니다.

그러나 기대효용은 유한한 값으로 정해집니다.

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이제 확실성대등액과 위험프리미엄의 개념을 살펴보겠습니다.

확실성 대등액(=확실성등가, Certainty Equivalent;CE)이란 위험 하에서 예상되는 기대효용과 같은 효용을 제공하는 확실한 소득액을 말합니다.

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위험프리미엄(Risk Premium;RP)은 불확실한 자산을 확실한 자산으로 바꾸기 위해서 경제주체가 지불할 용의가 있는 최대금액을 말합니다.

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만약 동전던지기의 기댓값이 100원인데 개인 A의 동전던지기에 대한 효용이 현금으로 90원 받았을 때의 효용과 같다면, 확실성 대등액은 90원이 됩니다.

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또한 위험프리미엄은 100-90=10원이 됩니다.

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그리고 A의 동전던지기 게임에 대한 효용(90원)은 기댓값에 대한 효용(100원)보다 작으므로 위험기피자입니다.

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앞에서 봤던 그래프로 좀 더 살펴보면 확실성 대등액은 기대효용을 제공하는 확실한 소득이므로, 위 그래프에서 C.E. 가 확실성 대등액의 위치입니다.

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그리고 기댓값과 확실성 대등액의 차이가 위험프리미엄이 됩니다.

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대부분의 경제주체는 위험기피성향이지만, 위험중립이나 위험애호 성향이라면 그래프의 형태는 바뀌게 됩니다.

중립성향이면 보는 것처럼 직선 형태가 되며 확실성대등액에서의 효용과 기대효용은 동일합니다.

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따라서 위험프리미엄은 0입니다.

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위험애호 그래프는 위험기피와 반대입니다.

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위험애호자는 확실성대등의 금액이 오히려 더 커지므로 위험프리미엄은 음수가 됩니다.

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이 내용까지 정리하면 위험성향에 대한 특징은 다음과 같습니다.

ΘR은 위험기피도를 가리키며, 자세한 내용은 별도 포스트로 다루겠습니다.

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(링크)

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이제는 위험을 재화간 평면 상에서 분석하기 위한 몇 가지 개념을 더 추가합니다.

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조건부상품 간 평면에서는 해당 상품이 확률에 따라 좋은 경우(Xg)와 나쁜 경우(Xb)로 나누어 집니다.

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먼저 Xb=Xg라는 수식으로 표현된 선은 무위험선으로 이 선상에서는 bad case의 보수와 good case의 보수가 동일하여 위험이 존재하지 않는 선입니다.

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그리고 Xb와 Xg의 정의에 따라 good case의 보수가 더 높은 것이 당연하기 때문에 무위험선 위의 점에 대해서는 원칙적으로 정의되지 않습니다

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예산선(Budget Line)은 조건부 상품으로 이루어진 평면에서 불확실성에 직면한 경제주체가 선택할 수 있는 상품조합의 집합을 말합니다. 이때 상품조합이란 내기나 보험 등을 통해 좋은 경우와 나쁜 경우에 얻는 각각의 보수의 집합을 가리킵니다.

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위에서 보면 선분AI가 예산선에 해당합니다. 모든 재산을 100% 베팅할 경우 점 I가 되며 0% 베팅할 경우 점A, 그 중간 정도로 베팅하게 될 경우 AI 선상의 어느 한 점이 결과값이 됩니다.

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따라서 예산선은 그 게임의 보수구조와 관련된 식이며, 그 게임의 확률구조와는 무관합니다.

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왜냐하면 예산선은 그 게임의 확률과 무관히 각 케이스별로 얻게되는 결과값을 이은 선이기 때문입니다.

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등기대치선(Fair Odds Line)은 조건부 상품집합 중 동일한 기대치를 주는 상품조합의 집합입니다.

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등기대치선은 확률상 기댓값이 같은 점들을 이은 것입니다. 따라서 기대치가 동일한 수준을 잇는 것이므로 보수구조와는 상관없이 확률에 의해서만 정해집니다.

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위험중립자는 기댓값이 같으면 효용도 전부 같으므로 효용함수와 등기대치선이 일치합니다.

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하지만 위험기피자나 애호자는 기댓값이 같더라도 위험의 정도에 따라 느끼는 효용이 다르므로 일치하지 않습니다.

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다음 시간에는 위험부담 및 위험분산 행위에 대해 분석해보겠습니다.

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