[생산자이론] 생산자와 생산함수

이번 시간은 생산자이론의 첫 번째 시간입니다.

​

생산자이론에서는 생산함수와 비용함수를 차례로 살펴보고, 이를 토대로 생산자의 이윤극대화 동기를 이해하는 순으로 진행하겠습니다.

​

먼저 이 글에서는 생산함수에 대해서 알아보겠습니다.

​

생산함수(Production Function)란 일정기간 동안 생산과정에 투입되는 생산요소를 독립변수로 해서 효율적인 생산계획을 함수의 형태로 나타낸 것으로, 쉽게 말하면 생산요소들과 생산량과의 관계를 나타낸 함수를 말합니다.

​

따라서 이 생산함수는 생산요소의 수에 따라 그 복잡성이 정해지는데 현실에서 생산함수는 여러 생산요소들의 함수로 정해지지만, 대학교 학부 수준의 미시경제학에서는 1요소(단기) 또는 2요소(단/장기)를 중심으로 분석할 것입니다.

​

1. 1요소 생산함수 : Q=f(L)

​

우리는 생산함수의 정량적인 분석을 위해 총생산, 평균생산, 한계생산의 개념을 사용합니다.

​

총생산(TP)은 말그대로 총생산량을 말하며, 평균생산(AP)은 단위생산요소 당 생산량, 한계생산(MP)은 추가단위생산요소 당 생산량을 가리킵니다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

​

​

그리고 TP의 변화에 따른 AP와 MP의 그래프는 아래와 같습니다.

​

그래프를 쉽게 이해하기 위해서는 TP그래프에서 AP와 MP를 유도하는 것이 좋습니다.

​

총생산함수곡선이 위 그래프와 같이 초록색 실선과 같이 나타난다고 할 때 한계생산의 크기는 총생산 위에서의 접선의 기울기에 해당합니다. 평균생산의 크기는 원점에서부터 해당하는 점까지를 이었을 때의 기울기(평균기울기)를 말합니다.

​

LA에서는 평균기울기가 접선의 기울기보다 완만합니다. 따라서 AP<MP가 성립합니다. 그러다가 L*에서는 평균기울기와 접선의 기울기가 동일하게 되고 이보다 투입량이 커지면 LB에서처럼 평균기울기가 접선의 기울기보다 커지게 됩니다.(AP>MP)

​

이를 AP와 MP에 대한 그래프로 그려보면 다음과 같습니다.

​

​

AP가 증가할 때는 MP가 AP보다 크고 AP가 감소할 때는 MP가 AP보다 작습니다.

​

따라서 AP가 증가하다가 감소하는 지점(극댓점)에서 MP가 지나갑니다.

​

또한 AP가 변하지 않는다면 AP와 MP는 일직선이 되며 두 값은 일치합니다.

​

또한 일반적으로 총생산량이 늘어날수록 요소 투입에 따른 추가적인 한계생산량은 감소하는 경우가 많습니다.

​

이를 한계생산체감의 법칙(Law of Decreasing Marginal Product)이라고 합니다.

 

2. 2요소 생산함수 : Q=f(L,K)

​

2요소에 대해서는 우리가 소비자이론에서 재화간 평면으로 소비자효용을 분석한 것처럼 생산요소간 평면에서 생산량을 분석합니다.

​

예시함수에서는 노동(L)과 자본(K)을 예로 들었으나 다른 투입요소를 가정하더라도 2요소라면 이하의 논의는 통용될 수 있습니다. 추후에는 논의의 편의상 L과 K로 분석하겠습니다.

​

먼저 재화간 평면에서 그려지는 등량곡선(iso-product curve)은 일정수준의 생산을 달성하는 생산요소의 집합으로, 소비자이론의 무차별곡선과 유사한 기능을 합니다.

​

등량곡선도 무차별곡선과 유사하게 다음의 특징을 일반적으로 가집니다.

​

1) 임의의 요소결합을 지나는 등량곡선이 존재

2) 등량곡선은 우하향

3) 서로 다른 두 등량곡선은 교차할 수 없음

4) 원점에서 멀어질수록 산출량은 증가

5) 원점에 대해 볼록한 모양

​

또한 요소간 상대가격에 따라 요소대체효과가 나타나기도 합니다. 이는 등량곡선의 형태에 따라 대체효과의 크기는 다릅니다.

​

요소대체효과의 크기는 등량곡선상의 한계기술대체율에 의해 정해집니다. 한계기술대체율(Marginal Rate Technical Substitution;MRTS)이란 생산요소 간의 대체율을 의미하며 특히 노동, 자본 요소에 대해서는 동일생산량을 유지하는 조건에서 노동 1단위에 대해 포기가능한 자본량을 의미합니다.

따라서 MRTS는 각 요소의 한계생산의 비율로 정해집니다.

그리고 한계생산대체율은 요소 투입량이 증가하면 통상적으로 감소합니다. 이를 한계생산대체율 체감법칙이라고 합니다.

이때 한계생산대체율 체감의 기준은 편미분이 아닌 전미분입니다. 이는 소비자이론에서 다루었던 한계대체율 체감법칙과 같은 논리이므로 이해가 필요하신 분은 해당 글을 확인하시면 되겠습니다.

​

 

[심화] 한계대체율체감법칙이 전미분인 이유 : https://fromonetoten.tistory.com/7

 

 

한편 등비용곡선(iso-cost curve)은 주어진 자산으로 구매할 수 있는 생산요소의 집합을 나타낸 것으로 소비자이론의 예산선처럼 생산량에 대한 제약식의 역할을 하게 됩니다.

​

​

노동에 대한 요소가격을 w, 자본에 대한 요소가격을 r이라고 할 때 비용은 E=wL+rK로 표현합니다. 참고로 w는 임금, r은 이자율과 같은 의미입니다.

​

등비용곡선 상에서 생산량을 최대로 하는 수준에서 최적 요소투입수준이 정해지는데 이는 등량곡선과 등비용곡선이 접하는 수준에서 정해짐을 알 수 있습니다.

​

​

그리고 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다

그리고 이 대체성은 등비용곡선과 등량곡선의 형태에 따라 다르게 나타나는데 통상의 등비용곡선은 wL+rK 형태이므로 등량곡선의 형태에 따라 대체성의 정도가 아래 그래프처럼 다양하게 나타납니다.​

​

 

 

소비자이론에서 한계효용체감법칙과 한계대체율체감법칙이 일반적으로 아무관계를 갖지 않는 것처럼 한계생산체감법칙과 한계기술대체율체감법칙도 일반적으로 아무관계를 갖지 않으나 두 요소가 독립적이라면 관계를 갖습니다.

​

해당 내용은 소비자이론에서 다룬 것과 완전히 같은 논리대로 정리할 수 있으므로 궁금하신 분은 해당 내용을 참고해주시기 바랍니다.

 

 

[증명] 한계효용체감과 한계대체율체감의 관계 : https://fromonetoten.tistory.com/5

​

 

또한 생산자이론에서는 공급자의 기술진보에 따라 동일생산량을 달성하는데 드는 투입요소의 양이 감소할 수 있습니다.

​

이때 어느 생산요소가 더 큰 폭으로 줄어드는지에 따라 자본집약적 기술진보, 노동집약적 기술진보, 중립적 기술진보로 나눌 수 있습니다.

​

예컨대 자본집약적 기술진보는 아래 그래프와 같이 최적생산요소조합이 노동투입을 큰 폭으로 줄이고 단위노동당 자본의 비중을 높이는 방향으로 일어납니다.

​

반대로 노동집약적 기술진보는 노동비중을 높이고 단위노동당 자본비중을 줄이는 방향으로 변화하며 중립일 경우 비중은 동일하게 유지됩니다.

​

이때 단위노동당 자본량을 자본집약도(capital intensity, k)라고 합니다.

​

등량곡선과 등비용곡선상에서 자본집약도는 원점에서 해당하는 점까지 이었을 때의 기울기(평균기울기)로 판단할 수 있습니다.

​

위 그래프를 다시보면 자본집약적 기술진보는 평균기울기가 상승하는 형태이고 노동집약적 기술진보는 평균기울기가 감소하게 됩니다.

​

 

 

​

최근 제조업에서 서비스, IT분야 산업이 커지면서 고용없는 성장이 장기화되고 있는데 이는 생산성 향상이 노동을 줄이는 방향으로 일어나면서 고도의 자본집중화가 일어나고 있는 것이라고 볼 수 있습니다.

​

그리고 생산요소의 가격변화 없이 산출량이 늘어날 때 각 산출량 수준에서 비용을 극소화할 수 있는 요소의 조합을 이은 선을 확장경로(Expension Path;EP)라고 합니다.

​

확장경로는 기본적으로 우상향하지만, 열등투입요소가 있을 경우 좌상향할 수도 있습니다.

​

 

 

또한 분계선(Ridge line)이란 등량곡선의 기울기가 음에서 양으로 바뀌는 지점을 이은 곡선입니다.

등량곡선이 양의 기울기를 갖는다는 것은 생산요소가 더 투입됨에도 불구하고 생산량이 동일하다는 의미이므로 합리적인 경제주체라면 무조건 선택하지 않는 점입니다.

​

따라서 생산자 입장에서는 분계선 안쪽의 영역에서만 최적 선택을 하게 됩니다.

​

다음 번에는 생산과 관련하여 규모의 경제, 범위의 경제 그리고 규모수익에 대해 알아보겠습니다.

​

​

​

궁금한 점이나 지적할 사항은 댓글로 알려주시면 반영하겠습니다. 감사합니다~