[보충] 외부성의 비효율성 증명

이번 시간에는 외부성이 비효율적이라는 것을 보다 수리적으로 보이겠습니다.

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1. 소비의 외부성

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두 소비자 A, B에 대해서 두 상품 X, Y가 있다고 가정하겠습니다.

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X재의 소비가 외부성을 지닌다면 각 소비자의 효용함수는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

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uA(XA, YA, XB), uB(XB, YB, XA)

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그리고 이 때 생산가능곡선은 Y≤T(X)로 표현하겠습니다.

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이에 대해서 라그랑지 식은 다음과 같이 세울 수 있습니다.

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X재와 Y재 편미분 라그랑지식을 각각 연립하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

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위 식에서 (1)식을 (2)식으로 나누면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

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결과식을 보면 MRSA=MRSB 외에 X재 생산량에 의해 최적 조건이 변경됨을 알 수 있습니다.

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2. 생산의 외부성

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이번에는 생산의 외부성에 대해서 비효율성을 다루어 보겠습니다.

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X재의 부산물 Y재가 H재에 영향을 주는 경우를 고려해보겠습니다.

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(W : 사회후생함수, L : 부존 노동량)

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위 식을 토대로 사회후생을 극대화하는 식을 세우고, LX로 미분하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

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이제 양변을 WH로 나누면 다음을 얻습니다.

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이때 가장 우측에 있는 -δh/δYg'(X)가 외부성의 효과임을 알 수 있으며 이로 인해 최적 수준이 효율적이지 않음을 알 수 있습니다.

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3. 그래프를 통한 생산의 외부성의 비효율성 확인

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그래프로 보다 직관적으로 확인해보겠습니다.

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두 재화 X, Y에 대한 생산가능곡선이 위 파란색 곡선과 같이 주어져 있다고 가정해보겠습니다. 이때 X재에 대한 긍정적 외부효과가 반영된 생산가능곡선이라고 해보겠습니다. X재에 대해서 긍정적 외부효과가 있으므로 PMCX>SMCX인 상황에 해당합니다.

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이때 MRS와 MRT를 비교하면 다음과 같습니다.

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즉 사적한계비용의 크기가 사회적 한계비용의 크기보다 크기 때문에 MRS가 MRT보다 커지게 되며 이는 MRS의 기울기가 MRT의 기울기보다 더 큰 E와 같은 지점에서 균형을 달성함을 알 수 있습니다.

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궁금한 사항이 수정이 필요한 부분은 댓글로 알려주세요

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