[생산자이론] 비용함수의 정의와 관계

지난 시간까지 생산에 대해 알아봤다면 이번 시간에는 비용함수에 대해서 알아보겠습니다.

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비용함수(Cost function)는 산출량이 일정한 상황에서 요소투입에 따른 비용을 최소화하는 함수입니다.

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그래서 비용함수는 각 요소의 가격과 산출량의 함수로 다음과 같이 나타납니다.

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C=c(w,r,Q)

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기업의 총 비용(Total Cost;TC)은 크게 고정비용과 변동비용으로 나눌 수 있습니다.

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고정비용(FC)은 생산량과 관계없이 시설 보유 등에 따라 지출되는 비용을 말하며, 가변비용(VC)은 생산량에 따라 변화하는 비용을 말합니다.

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TC(총비용) = TFC + TVC

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그리고 총비용을 생산량으로 나눈 값을 평균비용(Average Cost;AC) 이라고 합니다. 또한 추가 생산량 단위당 늘어나는 비용을 한계비용(Marginal Cost;MC)으로 정의할 수 있습니다.

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TC/Q = AC(평균비용) = AFC + AVC

dTC/dQ = MC(한계비용) = MFC + MVC = MVC

(MFC=0)

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이제 TC, TVC, TFC, AC, MC 등의 관계를 살펴보기 위해 두 가지의 그래프를 찾아보겠습니다.

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먼저 TFC는 고정비용으로 생산량과 무관한 값이므로 상수함수처럼 수평의 그래프를 얻습니다.

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반면 TVC는 생산량에 대한 함수이므로 여러 형태의 함수로 나타날 수 있습니다.

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그래서 TC는 TVC와 TFC의 합이므로 TVC에서 TFC만큼 수직으로 평행이동한 함수의 형태가 될 것입니다.

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이제는 주요 점들에 대해서 살펴보겠습니다.

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점 A는 총고정비용과 총변동비용의 값이 같은 점입니다.(TFC=TVC)

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점 B는 TC의 접선의 기울기가 가장 낮은 점입니다.(dTC/dQ 값이 가장 작음)

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점 C는 TVC를 기준으로 접선의 기울기와 원점에서의 기울기가 같은 점입니다.(dTVC/dQ = TVC/Q)

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점 D는 TC를 기준으로 접선의 기울기와 원점에서의 기울기가 같은 점입니다.(dTC/dQ = TC/Q)

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이제 이 4개의 점을 기준으로 AC, AVC, AFC, MC 그래프를 그려보겠습니다.

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점 A는 TFC=TVC인 점입니다. 양변을 Q로 나누면 TFC/Q = TVC/Q ⇒ AFC = AVC입니다.

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즉 점 A는 바꿔말하면 평균고정비용과 평균가변비용이 같은 점입니다.

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점 B는 TC의 기울기가 가장 작은 점으로, 바꿔말하면 한계비용의 값이 가장 작은 점입니다(MC 최소)

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점 C는 TVC를 기준으로 접선의 기울기와 원점에서의 기울기가 같은 점인데 바꿔말하면,

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dTVC/dQ = MVC = MC (왜냐하면 MFC=0), TVC/Q = AVC ⇒ MC = AVC

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점 D는 TC를 기준으로 접선의 기울기와 원점에서의 기울기가 같은 점인데 바꿔말하면,

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dTC/dQ = MC, TC/Q = AC ⇒ MC = AC

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이제 이 네 점을 기준으로 몇 가지 관찰할 수 있는 사실들이 있는데 다음과 같습니다.

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1) AC의 최저점에서 MC=AC

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증명은 다음과 같이 할 수 있습니다.

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TC(Q) = AC(Q)×Q, MC = dTC/dQ = AC + Q×dAC/dQ

이때 dAC/dQ=0이므로 MC=AC가 성립

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2) AC의 최저점은 AVC 최저점의 오른쪽에 위치한다.

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위와 같은 총비용함수에서는 AC의 최저점이 AVC 최저점의 오른쪽에 위치하게 되는데 개략적인 설명은 다음과 같이 할 수 있습니다.

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AVC(Q) = AC(Q) - AFC(Q)이므로, AVC의 최저점은 양변을 Q로 미분했을 때 다음을 만족합니다.

그런데 TFC가 생산량에 대해 상수함수이므로 AFC는 무조건 우하향하는 형태가 되어 dAFC/dQ<0입니다.

따라서 dAC/dQ<0이므로 AC가 체감하다가 체증하는 형태의 비용함수에서는 AC의 최저점이 AVC보다 오른쪽(더 큰값)에 있다고 할 수 있습니다.

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3) 우하향하는 MC곡선의 존재 여부

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이 그래프에서는 MC가 우하향하다가 우상향하는 것으로 묘사했습니다.

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MC가 통상적으로는 일정하거나 우상향하지만, 우하향하는 경우는 대개 아주 낮은 생산량 수준에서 생산량을 늘리게 되면 분업화와 자동화 도입 등에 따라 생산성을 향상시키는 활동을 하게 되면서 추가 생산에 따른 비용이 줄어드는 경우를 가리킵니다.

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다음 글에서는 장기와 단기로 나누어 비용함수의 특성을 분석해보겠습니다.

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궁금한 점이나 지적할 사항은 댓글로 알려주세요~