[증명] 두 무차별곡선이 서로 교차하지 않는 이유

앞서 살펴본 무차별 곡선의 특징 중 하나는 두 무차별곡선이 서로 교차하지 않는다는 것입니다.

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여러 가지 방법으로 설명이 가능한데,

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1. 이행성과 강단조성을 활용한 간단한 증명(약술)

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어느 한 점 P0(x0, y0)에서 두 무차별 곡선 u1과 u2가 교차한다고 가정합니다.

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그러면 u1상의 또다른 점 P1(x1,y1)과 u2상의 또다른 점 P2(x2,y2)에 대해서

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u(P1)=u(P0)이고, u(P0)=u(P2)이므로 u(P1)=u(P2)

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그런데 이는 무차별곡선의 강단조성에 위배되므로 모순입니다.

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2. 이행성을 활용한 또 다른 증명

마찬가지로 한 점 P0(x0, y0)에서 두 무차별곡선 u1과 u2가 교차한다고 가정합시다.

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그러면 u1상의 또다른 점 P1(x1,y1)과 u2상의 또다른 점 P2(x2,y2)에 대해서

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u1(P0)=u1(P1)>u1(P2)여서 u(P0)>u(P2)

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그런데 u2(P0)=u2(P2)이므로 u(P0)=u(P2)

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두 식은 서로 모순, 따라서 교차하는 점 P는 존재하지 않습니다.

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궁금한 점이나 수정해야할 부분이 있는 경우 언제든 댓글 달아주세요~!

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