[증명] 한계효용체감과 한계대체율체감의 관계

앞서 우리는 한계효용체감법칙과 한계대체율체감법칙에 대해 알아보았습니다.

 

 

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이 부분을 공부하고 나면 많은 학생들이 둘 사이의 관계에 대해 궁금해하고, 헷갈려하는 경우가 많습니다.

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하지만, 아무 조건이 없는 상태에서는 한계효용체감의 법칙과 한계대체율체감의 법칙 간 관계는 없는데요.

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이제 그 이유를 수식으로 살펴보겠습니다.

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먼저 효용함수 U=U(x,y)에서 한계효용이 체감한다는 의미는 효용함수를 두 번 미분했을 때 음수라는 의미입니다.

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U′′(x) < 0,      U′′(y) < 0​

 

그런데 한계효용체감은 각자 자신의 재화로 두 번 미분했을 때 음수라는 것이므로, 간략히 표현하면 다음과 같습니다.

 

Uxx​  <  0,    Uyy​   <  0

 

즉, 두 번 편미분한 것을 다음과 같이 아래첨자로 표현할 수 있습니다.

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한편 한계대체율은 무차별곡선의 접선의 기울기이고, 무차별곡선은 두 재화 x, y 사이에서 y=g(x)로 표현됩니다.

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이제 한계대체율을 구하면,

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이고, 한계대체율이 체감한다는 것은 -g''(x) <0을 뜻합니다. 따라서, 구해보면

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결과적으로 분모는 항상 양수이므로, 분자식이 양수이면 됩니다.

결과적으로, 위 식이 양수면 되는데 Uxx 와 Uyy는 한계효용체감의 법칙이 적용된다면, 무조건 음수이므로 자동으로 첫 번째 항과 세 번째 항은 양수입니다.

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또한 Ux와 Uy는 효용함수의 기울기이므로 일반적인 경우 양수입니다.

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그런데 Uxy는 두 재화로 각각 한 번씩 미분한 것이므로 양수가 될 수도, 음수가 될 수도 있습니다.

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따라서 Uxy가 0이상의 양수일 때만 위 식은 항상 성립합니다. 즉 이 경우에 한해 한계효용체감이 성립하면, 한계대체율체감도 성립합니다.

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특히 Uxy=0인 경우(두 재화가 서로 소비량 변화에 대해 독립적이면) 성립합니다.

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아마 미시 교과서를 보시다보면, "한계효용체감의 법칙이 성립하고, 한 상품의 소비량의 변화가 다른 상품의 한계효용에 영향을 미치지 않는다면 한계대체율체감 법칙은 자동으로 성립한다"라는 내용을 볼 수 있을텐데, 바로 여기에서 증명이 가능한 부분이 되겠습니다.

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하지만 Uxy < 0이라면 성립하지 않습니다.

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반례1. 한계대체율은 체감하나, 한계효용은 체감하지 않는 경우 :

 

1) 한계대체율 : 아래식에서 보는 것처럼 x가 증가하면 MRS의 미분값이 항상 음수이므로 MRS체감이 성립합니다.

 

2) 한계효용 : x의 한계효용함수를 미분하면 반드시 양수이므로, 한계효용체감이 성립하지 않습니다.

 

반례2-1. 한계효용은 체감하나, 한계대체율은 체감하지 않는경우 :

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(대우명제로서 한계대체율이 체증하나, 한계효용이 체증하지 않는 경우로 증명합니다.)

1) 한계대체율 : 아래 식에서 보는 것처럼 MRS를 x로 편미분하면 무조건 양수이므로 한계대체율 체증합니다.

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2) 한계효용 : 아래 식처럼 한계효용의 미분값은 x와 y의 크기에 따라서 한계효용체감이 가능합니다.

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​반례2-2. 한계효용은 체감하나, 한계대체율은 체감하지 않는경우 :

1) 한계효용 : 아래 식에서 보듯이 체감합니다.

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2) 한계대체율 : MUx와 MUy의 식이 같으므로 MRS=1이므로 한계대체율은 일정합니다.

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반례 설정 시 주의해야할 점은 한계대체율체감을 구할 때는 반드시 편미분이 아닌 전미분을 해야한다는 점입니다.

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(링크)

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지적사항이나 궁금한 점은 댓글로 많이 달아주세요^^