[증명] 슬러츠키 방정식의 유도

이번 포스트에서는 슬러츠키 방정식을 유도하는 과정을 소개하겠습니다.

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슬러츠키 방정식의 일반적 내용에 대한 설명은 다음 링크를 참고하시기 바랍니다.

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[소비자이론] 가격효과와 슬러츠키 방정식 : fromonetoten.tistory.com/17

 

 

가격효과가 대체효과와 소득효과의 합이라고만 설명할 경우 슬러츠키 방정식에서 이해가지 않는 부분들이

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있을 것입니다.

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이하의 내용이 100% 엄밀한 증명은 아니지만, 슬러츠키 방정식을 이해하는 데 도움이 되길 바랍니다.

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1. 슬러츠키 방정식의 유도

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특정 재화 x의 가격효과는 두 효과에 따른 변화량의 합입니다.

이때 대체효과와 소득효과는 다음과 같이 표현 가능합니다.

여기서 X(p,m)은 가격과 소득에 따른 X소비량을 의미합니다.

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이때 p1은 최초 상대가격, p2는 가격 변화 후 상대가격입니다.

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그리고 m1은 최초 소득이며, m2는 변화된 가격에서도 최초효용을 유지하는 가상의 소득입니다.

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이 m2는 힉스 기준이 되겠습니다.

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이런 기준에서 보았을 때 dxs는 우리가 생각하는 대체효과의 의미와 부합합니다.

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그런데 우리가 생각하는 소득효과는 소득이 변화 후 재화량에서 변화 전 재화량을 빼는 것이므로, 다음이 성립합니다.

이제 가격효과를 대체효과와 소득효과로 나타내기 위해 다음으로 우선 변형합니다.

양변을 Px로 미분하면,

이제 우변 두번째 항을 좀 더 나눠보겠습니다. 예산제약식은 M=XPx+YPy이므로 소득을 가격으로 미분하면, 재화량이 됩니다. 이를 대입하면,

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분모를 정리하고, 보상수요와 보통수요를 분리해서 생각하면,

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다음과 같은 슬러츠키 방정식으로 유도될 수 있습니다.

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2. 교차 슬러츠키 방정식의 유도

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교차슬러츠키 방정식은 아래와 같습니다.

교차 슬러츠키 방정식을 유도하는 방법은 여러 가지가 있지만, 여기서는 셰퍼드 정리를 활용해 유도해보겠습니다.

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보통수요와 보상수요의 관계를 생각하면, 다음이 성립합니다.

이때 첨자c는 보상수요의 의미이고, 첨자d는 보통수요의 의미입니다.

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즉 보통수요함수와 보상수요함수는 무엇을 변수로 하느냐의 차이일뿐 변수를 통일시킬 경우 같은 함수라는 의미입니다.

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이 내용은 함수간 쌍대성 및 효용극대화, 비용극소화의 내용을 이해해야 가능한 부분입니다.

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[소비자이론] 효용극대화와 비용극소화, 그리고 쌍대성 : fromonetoten.tistory.com/11

 

 

셰퍼드 정리와 지출함수, 간접효용함수 간 쌍대성 내용은 추후에 다룰 내용을 참고해주시면 감사하겠습니다.

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여기서 간단하게 설명하자면, 효용극대화든 비용극소화든 결국 미분을 통해 극솟점 또는 극댓점을 찾는 것이기 때문에 결과가 동일합니다.

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즉 보상수요함수나 보통수요함수나 변수의 차이만 있을 뿐 구하는 원리 자체는 같기 때문에, 변수를 통일시켜주면

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식은 동일하게 나오게 됩니다.

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이제 이 식의 양변을 Px로 미분하면 다음이 성립합니다.

셰퍼드의 정리에 따라 지출함수를 가격으로 미분하면 해당재화량이 나오게 됩니다.

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또한 지출함수는 예산선과 동일하므로 E=M이 성립합니다. 해당 내용을 반영하면, 다음이 성립합니다.

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이때 단일값으로 보았을 때 보상수요량과 통상수요량은 같으므로(Xc=Xd)

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세 가지 내용을 정리하면 다음이 성립합니다.

이제 가격효과를 대체효과와 소득효과로 나누어보기 위해 우변 두 번째 항을 좌변으로 넘기면 다음이 됩니다.

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슬러츠키 방정식의 유도와 관련해서 수정할 사항이나 궁금한 점은 댓글로 알려주세요~

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