[일반균형이론] 여러가지 효용함수의 계약곡선 유도

이전 시간에 우리는 일반적인 의미의 계약곡선과 일반균형 도출방식을 알아보았습니다.

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[일반균형이론] 교환경제의 일반균형 도출 : https://fromonetoten.tistory.com/87

 

 

이번 시간에는 보다 실전적으로 각 유형별로 여러가지 효용함수의 개인들을 가정하고, 이때의 계약곡선과 일반균형을 알아보겠습니다.

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먼저 이 글에서는 계약곡선을 구해보겠습니다. 계약곡선은 부존값이 없더라도 두 당사자의 효용함수만 정해진다면

유도할 수 있습니다.

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1. A : 콥-더글라스, B : 콥-더글라스

다음의 효용함수를 가정합니다.

계약곡선이 성립하기 위한 제약식은 다음과 같습니다.

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따라서 두 계약곡선의 한계대체율에서 도출되므로 한계대체율을 구하면 다음과 같습니다.

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이제 계약곡선의 형태를 파악하기 위해 XA와 YA에 관한 식으로 정리합니다. 이를 위해 부존제약식을 활용하면 다음과 같이 정리됩니다.

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부존량은 최초에 주어지는 상수이므로, 계약곡선은 두 재화의 부존량을 기울기로 하는 일차함수임을 알 수 있습니다.

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2. A : 준선형, B : 준선형

다음과 같은 형태의 효용함수를 가정합니다.

이제 계약곡선이 성립하기 위한 효용극대화식과 제약식은 다음과 같이 구성됩니다.

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특정 개인의 효용극대화 식은 다른 개인의 효용식과 부존크기를 제약식으로 합니다.

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따라서 계약곡선은 두 개인의 한계대체율이 일치하는 수준에서 결정되므로, 구하면 다음과 같습니다.

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XA=XB라는 식의 뜻은 계약곡선이 재화 Y의 영향을 전혀 받지 않으며 오로지 X재의 크기에 의해서만 계약곡선이 구해짐을 뜻합니다. 그 중에서도 XA=XB라면 양측 모두 효용극대화가 달성되므로 계약곡선을 그리면 다음과 같습니다.

XA=XB가 성립하는 모든 Y에 대해서 성립하므로 계약곡선은 수직선을 그리게 됩니다. 이는 준선형 효용함수가 함수 특성상 Y의 크기에 관계없이 기울기가 일정하기 때문입니다.

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그리고 수직의 계약곡선이 YB=0인 점에 오게 되면 그보다 위로 uA와 uB를 이동시키게 되면 박스 바깥을 벗어나게 되고, XB축 상에서 효용극대화를 하게 됩니다. 반대로 계약곡선이 YA=0가 되면, XA축 상에서 효용극대화를 하게 되므로 위와 같은 형태의 계약곡선이 최종적으로 도출됩니다.

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* 계약곡선은 원점에서 출발해서 원점에서 끝난다는 점을 알고 있으면 유도하기가 쉬울 것입니다.

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3. A : 레온티에프, B : 레온티에프

다음과 같은 형태의 효용함수를 가정합니다.

계약곡선이 성립하기 위한 효용극대화식과 제약식은 다음과 같습니다.

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레온티에프는 한계대체율을 수식으로 구할 수 없고, 효용극대화 조건을 활용해서 계약곡선을 다음과 같이 구할 수 있습니다.

X재와 Y재의 부존량의 크기가 같으면 아래와 같이 일직선 형태로 나타납니다.

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만약 부존량의 크기가 다를 경우, 각 개인의 효용극대화 조건을 기준으로 계약영역이 도출됩니다.

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4. A : 선형, B : 선형

다음과 같은 형태의 효용함수를 가정합니다.

이제 계약곡선이 성립하기 위한 효용극대화식과 제약식은 다음과 같이 구성됩니다.

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그런데 선형 효용함수는 특성상 한계대체율 도출이 어려우므로, 효용함수 그림을 통해서 계약곡선을 다음과 같이 도출할 수 있습니다.

효용함수 A의 기울기가 효용함수 B에 비해 가파른 경우 계약곡선은 위와 같이 표현됩니다.

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효용함수 B가 기울기가 더 작은 경우 OA 입장에서 보면 그래프가 뒤집어지기 때문에 기울기가 더 크게 보입니다. 그래서 효용함수 B의 제약이 위의 분홍색 점선과 같이 나타나고, 이 때 효용함수 A의 크기를 극대화하는 점은 XB 축상의 점이 됩니다. 마찬가지로 YA도 효용함수 A의 크기를 극대화하는 점이 되므로 계약곡선은 위와 같이 표현됩니다.

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일반균형이론은 이전에 살펴보았던 경제이론들을 응용한 것이기 때문에 단번에 이해하기가 쉽지 않습니다.

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여러 번 찬찬히 읽어보시고, 직접 수식도 풀어보고, 그래프도 그려보면 부족한 설명으로 인해 알기 어려웠던 부분도 금방 이해되실 것이라 생각합니다.

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그래도 이해가 어려운 부분은 댓글로 물어봐주시면 좀 더 자세히 설명드릴 수 있도록 하겠습니다.

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다음 시간에는 여러 가지 효용함수의 일반균형을 유도해 보겠습니다.