[심화] 일반균형의 성립

여기서는 왈라스법칙을 이용해서 일반균형이 반드시 존재함을 확인해보겠습니다.

​

먼저 왈라스 법칙(Walras' law)이란 모든 시장에서 총초과수요가치의 합이 0이라는 법칙입니다.

​

이를 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

먼저 이 법칙이 성립함을 간단한 순수교환시장에서 보여보겠습니다.

​

​

​

1. 왈라스법칙의 성립에 대한 직관적 도출

​

​

2시장(재화 X, Y) - 2주체(A, B) 순수교환경제를 가정했을 때, 각 경제주체의 예산제약식은 다음과 같습니다.

각 주체의 예산 제약식 우변을 좌측으로 넘기고, 초과수요 Z=D-S로 정의하면, 다음이 성립합니다.

​

이제 두 식의 좌우를 서로 합치면 다음이 성립하고 왈라스법칙이 성립함을 알 수 있습니다.

이와 같은 방식으로 귀납적으로 재화와 주체를 무한히 늘려도 왈라스법칙이 성립한다고 생각할 수 있습니다.

​

사실 이 왈라스법칙이 의미 있는 것은 개별 부분 시장에서는 균형이 달성하지 않더라도 각 개별 부분 시장을 시장가치로 환산했을 때 전체 시장에서는 초과되는 수요가 없다는 뜻이기 때문입니다.

​

​

​

​

2. 왈라스법칙을 통한 일반균형의 존재 증명

​

왈라스법칙이 성립할 때, ① 연속적인 초과수요함수를 가지고 있고, ② 바람직한 상품시장으로 구성되어 있을 때(비재화가 존재하지 않을 때), 일반경쟁균형은 반드시 성립합니다.

​

​

이를 보이기 위해 먼저 왈라스 법칙이 성립하는 N개의 재화로 이루어진 시장이 있다고 해보겠습니다.

​

​

만약 (N-1)개의 시장에서 균형이 이루어질 경우 나머지 1개의 시장은 자동으로 균형을 달성합니다.

​

​

왜냐하면 전체 시장의 총초과수요가치가 0인데, 1개를 제외한 나머지 시장의 가치 총합이 0이면 남은 하나의 시장에서도 총초과수요가치가 0이어야 되기 때문입니다.

이제 N=2라고 가정할 때부터 성립함을 살펴보겠습니다. N=2이면 우리가 풀어야 하는 식은 1개입니다. 1개의 식만 풀리면 그 풀린 식에서 얻은 값으로 다른 하나의 식을 풀 수 있습니다.

​

N=2일 때 초과수요함수는 다음과 같습니다.

이제 우리는 P1과 P2 가격을 상대가격으로 표현할 것입니다. 즉, 새로운 가격변수 P1R과 P2R을 다음과 같이 정합니다.

​

즉 PiR은 Pi에 대한 상대가격으로서 가격의 총합은 1과 같습니다.

​

이렇게 정의했을 때, 예컨대 재화1의 초과수요함수는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

다른 재화도 이렇게 표현할 수 있습니다만,

​

우리가 풀 식을 Z1으로 생각하면, 이때 초과수요함수 Z1은 다음의 특징을 갖습니다.

먼저 P1R의 값이 한없이 0에 가까워지면, P1의 값이 매우 싸지는 것을 뜻하고, 따라서 재화1에 대해서 큰 초과수요가 발생합니다.

​

반면 P1R의 값이 한없이 1에 가까워지면, P2의 값이 매우 싸지는 것을 뜻하고, 따라서 재화2에 대해서 큰 초과수요가 생기므로 Z1의 경우에는 마이너스 무한대에 가까운 값이 발생합니다.

​

이런 초과수요함수의 특성을 그래프로 표현하면 다음과 같습니다.

​

초과수요함수 Z1은 양쪽 끝 구간에서 값이 각각 무한대와 음의 무한대로 발산하고, 연속함수에 해당하므로 중간값의 정리에 의해 Z(P*1R)=0이 성립하는 P*1R이 반드시 1개 이상 존재하게 됩니다.

​

※ 중간값의 정리(intermediate value theorem)란 연속함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 f(a)와 f(b) 사이의 값을 해로 갖는 x 값이 구간 안에 1개 이상 존재한다는 정리입니다.

​

따라서 왈라스 법칙이 성립하는 한 일반균형은 반드시 1개 이상 존재합니다.

​

​

​

​

​

1과 2의 결론을 종합해보면, 우리가 생각할 수 있는 바람직한(일반적인) 시장에서는 왈라스법칙이 성립하고, 일반경쟁균형이 1개 이상 존재할 수 있다고 판단할 수 있겠습니다.

​

​

궁금하거나 고쳐야 될 부분이 있으면 댓글로 달아주시면 반영하도록 하겠습니다.