[소비자이론] 여러가지 효용함수2(루트, 제곱, 비재화)

오늘은 여러가지 효용함수에 추가적으로 언급되지는 않았지만

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다양한 형태의 효용함수에 대해 그려보는 연습을 하겠습니다.

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효용함수를 그릴 때는

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1. 직관적으로 그릴 수 있다면 그렇게 하고

2. 직관적으로 파악이 안될 경우

1) 효용 하나에 대해서 주요 점들을 잡아보고

2) 1계미분과 2계미분으로 곡선의 형태를 잡아주면 됩니다.

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fromonetoten.tistory.com/9

 

↑ 1편은 여기에서 참고해주세요

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1. 제곱 합 형태의 효용함수

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u=x2+y2

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과 같은 형태의 효용함수에 대해서 그려보겠습니다.

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이 함수는 여러분들이 잘 아는 원의 방정식입니다.

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따라서 이 효용함수는 반지름을 u의 제곱근으로 해서 그려주면 됩니다.

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만약 떠오르지 않았다면 다음과 같이 해봅시다

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(x,y)=(1,1)일 때, (0,루트2)와 (루트2,0)을 지납니다.

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이 세점을 기준으로 잡고 효용함수를 미분해봅니다.

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1계미분 시에 값은 반드시 음수이고, 2계 미분시에도 음수이므로 위로 볼록하되 감소하는 방향으로 그래프를 그려주면 됩니다.

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2. 제곱이 들어간 준선형 효용함수

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u=-x2+y

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에 대해 그려보겠습니다.

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이 효용함수는 x2항을 좌변으로 넘기면 이차함수 꼴임을 알 수 있습니다.

여기서 x재는 비재화이고, y재는 재화에 해당합니다.

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3. 루트가 들어간 준선형 효용함수

를 예로 들어보겠습니다.

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이 함수는 x항을 좌변으로 넘기면 무리함수 형태가 됩니다.

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4. 루트의 합으로 이루어진 효용함수

이 형태의 함수는 중고등학교 시기에 본 형태의 함수가 아닙니다.

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이런 경우에는 앞서 살펴본 방법을 적용해봅시다.

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1) 효용 하나에 대해서 주요 점들을 잡아보기

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x=1, y=1일 때 u=2가 됩니다.

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u=2일 때, x=0이라면 y=4가 되고 x=4라면 y=0이 됩니다.

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2) 이제 미분을 통해서 함수의 증감 및 오목볼록을 판단해야 합니다.

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그리고 x,y는 재화이므로 0이상의 양수인 범위에서만 고려합니다.

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위 결과에 따라 감소함수이되, 아래로 볼록한 함수로 그려주면 됩니다.

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그리고 x=y여도 동일한 함수이므로, y=x 대칭으로 그려주면 아래와 같은 형태를 가질 수 있습니다.

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5. 곱으로 묶인 함수

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u=x2y2

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두 미지수가 곱의 형태로 하나의 항을 구성하는 경우, 콥-더글라스 효용함수와 동일한 모양을 갖습니다.

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예시 함수의 경우 양변에 네제곱근을 취하면

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과 같이 되므로 각 계수가 0.5인 콥더글라스 효용함수와 같습니다. 이때 u의 값은 서수적 효용을 고려하는 미시경제학에서 단조증가변환인 경우 동일한 결과를 얻습니다.

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쉽게 말해서 u가 늘어나면 네제곱근u도 늘어나기 때문에 서수적 효용을 위배하지 않기때문에 절대적인 값이 바뀌어도 결과가 같다는 의미입니다.

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* 단조증가변환 : 여러 방식으로 정의할 수 있지만, 여기서는 이해하기 쉽게 다음과 같이 생각하겠습니다.

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단조증가변환은 단조증가함수로 변환하는 것을 말하며, 단조증가함수는

인 함수를 말합니다.

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다음에는 효용극대화와 비용극소화에 대해서 알아보겠습니다.

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궁금한 점이나 고쳐야 될 부분이 있으면 언제든 댓글 달아주세요!!