[소비자이론] 여러가지 효용함수(콥더글라스, 레온티에프, 선형, 준선형 효용함수)

이번 포스트는 학부 경제학 수준에서 다루는 여러가지 효용함수들을 살펴보겠습니다.

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1. 콥-더글라스 효용함수(Cobb-Douglas utility function)

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콥-더글라스 효용함수는 각 상품에 대한 지수의 합이 1로 일정한 함수를 말합니다.

콥 더글라스 효용함수는 통상적으로 생각하는 볼록한 형태의 효용함수라고 생각하면 됩니다.

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가장 일반적인 효용함수의 특징들을 모두 다 갖추고 있습니다.

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하지만, 콥 더글라스의 최적선택은 매우 특수한 형태의 해를 가집니다.

위에서 나온 비례식에 예산제약식을 대입하면 다음과 같은 해를 얻을 수 있습니다.

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콥더글라스 효용함수는 지수에 비례해서 지출액 비율이 정해집니다.

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예를 들어 α값이 0.5라면 소득의 50%는 x재, 나머지 50%는 y재를 소비하는 데사용합니다.

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α값이 0.7이라면 전체소득의 70%는 x재, 30%는 y재 구매에 사용합니다.

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2. 레온티에프 효용함수(Leontief utility function)​

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레온티에프 효용함수는 소비하는 소비품목의 비율이 일정한 효용함수를 말합니다.

min함수는 두 값 중에 더 작은 값을 택한다는 의미입니다.

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예컨대 min[5, 10] = 5, min[3, -1] = -1과 같은 식입니다.

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이 효용함수를 그려보면, 다음과 같은 효용함수를 얻습니다.

이렇게 꼭짓점을 갖는 형태의 효용함수가 되는데 이때 꼭짓점의 위치는 미니멈 함수 내 두 값이 같은 수준에서 정해집니다. 즉,

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위에서 알 수 있는 교훈은 레온티에프 효용함수에서는 변수의 계수에 반비례해서 소비량의 비율이 정해진다는 것입니다.

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예를 들어 u=min[x,y] 함수라면 최적소비량은 1:1로 정해질 것이고, u=min[3x,2y]라면 최적소비량은 2:3으로 구할 수 있습니다.

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이를 일반화된 수식으로 표현하면, 다음과 같습니다.

여기서 첫번째에 나온 max 식은 효용극대화를 의미하는 식입니다. 이 식에 대해서는 추후에 설명할 것이므로,

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여기서는 레온티에프 효용함수의 형태와 최적값에 대해서만 기억하도록 합시다.

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3. 선형 효용함수(Linear utility function)​

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선형 효용함수는 흔히 우리가 아는 일차식의 형태로 표현되는 효용함수입니다.

이 효용함수를 그려보면 단순 선형이기 때문에 예산제약식의 기울기와 효용함수의 기울기에 따라 최적소비점이 정해집니다.

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효용함수기울기가 예산식의 기울기보다 가파르다면 x축 상에서 최적소비가 정해지고

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효용함수의 기울기가 예산식의 기울기보다 더 완만하다면 y축 상에서 최적 소비가 정해집니다.

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즉 효용함수의 기울기와 예산식의 기울기가 다르다면, 모서리 해(corner solution)를 갖습니다.

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기울기가 같을 경우 예산제약식 상의 어느 점이라도 최적이 가능합니다.

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이를 그림과 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

 

 

 

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4. 준선형 효용함수(Quasi-linear utility function)​

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준선형 효용함수는 선형함수와 비선형 함수의 합으로 표현되는 함수를 말합니다.

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따라서 일반적인 형태는 u = v(X)+aY의 형태가 되겠지만, 학부 이하에서 비선형 효용함수의 예는 대부분

u =lnx+y이므로 이 형태를 기준으로 설명하겠습니다.

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이 효용함수의 특징은 한계대체율이 오로지 x재에 의해서만 영향을 받는다는 점입니다.

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위 수식에서 보는 바와 같이 y재의 한계효용은 1로 일정하기 때문에 오로지 x재에 따라 효용함수의 기울기가 정해집니다.

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이 뜻은 x재의 크기가 같다면 모든 곳에서 효용함수의 기울기는 같다는 것이고, 바꿔 말하면 x재는 소득만 변하고 상대가격이 바뀌지 않는다면 x재의 최적 소비량은 항상 일정하다는 의미입니다.

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이는 일반화된 준선형 효용함수에서도 마찬가지여서,

효용함수의 기울기는 오로지 X재에 의해서만 정해지게 됩니다.

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위의 4가지 효용함수는 가장 기본적 형태의 응용함수입니다.

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하지만, 불행하게도(..) 다양한 형태의 효용함수가 있는데 그 중에 하나를 소개하면서 마무리하겠습니다.

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[응용] 레온티에프 함수의 응용

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위에서 보이는 함수처럼 응용된 레온티에프 효용함수가 나올 경우, 가장 먼저 찾아야 하는 것은

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레온티에프 함수의 꼭짓점의 위치입니다.

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꼭짓점의 위치는 두 항의 크기가 같은 선 상에서 정해지므로 x+2y=2x+y를 풀면 x=y임을 알 수 있습니다.

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그 뒤에는 어느 한쪽이 클 때 어떻게 되는지 보면 됩니다.

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x와 y의 크기에 따라 효용함수는 위와 같이 그려주면 됩니다. 그렇게 되면 효용함수는 다음과 같이 그려집니다.

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살펴본 것처럼 기본형태의 효용함수가 아닌 다양한 형태의 효용함수들이 있습니다.

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다음 포스트에서는 또다른 응용된 효용함수 몇 가지를 더 살펴보고

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효용극대화와 비용극소화에 대해서 알아보겠습니다.

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궁금하거나 틀린 부분이 있으면 언제든 댓글 달아주세요~

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