[소비자이론] 효용극대화와 비용극소화, 그리고 쌍대성

안녕하세요^^

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이번 글에서는 효용극대화와 비용극소화에 대해 살펴보겠습니다.

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우리는 앞서 예산제약 하에서 최적 선택을 하기 위해서 소비자들이 자신의 효용을 극대화하는 수준에서

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소비를 결정한다고 이야기했었습니다.

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좀 더 구체적으로 얘기하자면, 합리적인 소비자는 자신의 제약 하에서 자신의 효용(=만족도)을 가장 높이는 수준에서 최적 선택을 할 것입니다.

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이를 소비자의 효용극대화(utility maximization)라고 하며, 수식으로는

로 표현할 수 있습니다. 이 식이 나오면 소비자의 효용극대화를 하겠다는 의미로 받아들이시면 됩니다.

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수식에 대해 조금 더 설명하자면 맨 앞의 max는 뒤에나올 목적문을 극대화하겠다는 의미이며, 여기서는 효용(U)을 의미합니다.

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그리고, s.t.는 subject to의 약자로 뒤에 나올 조건문을 제약으로 함을 의미합니다. 여기서는 예산제약식이 됩니다.

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따라서 조합해보면 예산제약식을 조건으로 하는 효용을 극대화하겠다는 의미입니다.

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그런데 반대로 소비자 효용을 일정수준으로 유지하면서, 지출을 최대한 줄이는 방법으로 선택할 수도 있습니다.

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이를 비용극소화(expenditure minimization)라고 합니다. 수식으로는

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와 같이 나타냅니다.

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해석은 위의 식과 동일하며, 단지 max가 min으로 바뀌었을 뿐입니다.

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그러면 이제 효용을 극대화하거나 비용을 극소화하는 두 집단이 생길텐데, 많은 수학적 증명들을 통해서

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두 문제의 정답은 동일하게 됨을 밝혀냈습니다. 이를 쌍대성(duality)이라고 합니다.

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쌍대성은 보다 일반적으로 정의하면, 일대일로 대응하는 개념으로 이루어진 두 체계에서 한 명제가 체계 S에서 성립하면, 대응된 체계 T에서도 성립할 때 이를 쌍대성이라고 합니다.

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우리가 고등학교에서 생각하는 필요충분조건과 비슷한 의미입니다. 단지 고등학교 때는 명제에서 명제로 대응되는 거였다면, 쌍대성은 체계와 체계간의 필요충분관계를 의미합니다.

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어떤 효용극대화 문제에서 답이 a였다면 조건문과 목적문을 바꾼 비용극소화 문제에서도 답은 a가 됩니다. 반대여도 성립하고 역, 이, 대우가 모두 성립합니다.

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쌍대성은 경제학 전반에서 많이 나타나므로, 기회가 될 때마다 소개해드리도록 하겠습니다.

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다음 글에서는 가격소비곡선, 소득소비곡선, 엥겔곡선에 대해서 알아보겠습니다.