[소비자이론] 가격소비곡선, 소득소비곡선, 엥겔곡선 - 콥더글라스, 레온티에프

이번 포스트에서는 가격소비곡선, 소득소비곡선, 엥겔곡선의 의미와 여러가지 효용함수들에 적용하여 그려보겠습니다.

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가격소비곡선(Price Consumption Curve;PCC)은 가격의 변화에 따라 소비자균형의 이동을 나타낸 곡선을 말합니다.

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그리고 소득소비곡선(Income Consumption Curve;ICC)은 소득의 변화에 따라 소비자들의 선택점을 재화간 평면에 나타낸 곡선을 말합니다.

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그리고 엥겔곡선(Engel Curve;EC)은 소득변화에 따른 선택점을 재화-소득간 평면에 나타낸 곡선입니다.

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이제 여러 가지 형태의 효용함수에 갖는 ICC, PCC, EC에 대해 살펴보겠습니다.

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예산제약은 M=PxX+PyY라고 가정합니다.

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1. 콥-더글라스 효용함수의 가격소비곡선(PCC), 소득소비곡선(ICC), 엥겔곡선(EC)

 

u = √xy​

 

함수로 가정하고 진행하겠습니다.

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1) 가격소비곡선

PCC를 구하기 위해서는 최적의 x* 또는 y*를 구하고 재화간 평면에 그려주면 됩니다.

이제 Px에 대한 PCC를 X-Y 평면상에서 그려보면, Y재가 X재의 가격변화와 무관함을 알 수 있습니다.

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그래서 Y재의 소비량은 Px와 상관없이 동일하므로, PCC는 수평으로 나오게 됩니다. 아래 그림에서 초록색 실선이 PCC에 해당합니다.

디테일하게 몇 가지를 부연 설명하면,

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a. 위의 원리를 그대로 적용하면, Py에 대한 PCC는 수직입니다.

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b. 수평선의 위치는 콥 더글라스 함수의 성질을 활용하면, 쉽게 찾을 수 있습니다.

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콥-더글라스 효용함수에서는 지출액의 비중이 지수에 비례해 일정하므로,

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위의 경우에는 0.5:0.5인 지점에서 수평선이 결정됩니다.

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c. 모든 PCC는 당연히(!) 원점에서 시작합니다.

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왜냐하면 x절편이 0에 가까워질수록 X재의 가격은 무한히 커집니다.

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그리고, X재의 가격이 무한대라면, X*=0, y*=0이기 때문입니다.

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2) 소득소비곡선

ICC는 Y*에서 M자리에 X*에 대한 함수를 집어넣으면 됩니다.

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위의 경우,

이므로, ICC는 원점에서 출발하는 일차함수의 형태로 나타납니다.

여기서도 ICC는 원점에서 출발합니다. 소득이 0이면 최적소비는 X*=0, Y*=0이기 때문입니다.

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3) 엥겔곡선

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엥겔곡선은 최적수요량을 구한 것을 소득-재화 관계로 보면 됩니다. 위 수식에서 X는 M에 대한 일차함수이므로 원점을 지나는 직선으로 그리면 됩니다.

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2. 레온티에프 효용함수의 가격소비곡선(PCC), 소득소비곡선(ICC), 엥겔곡선(EC)

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1) 가격소비곡선

효용을 극대화 시키는 최적값부터 찾으면,

이제 Px에 대한 PCC를 구하기 위해 Y재 최적량에 Px를 대입하면 다음과 같습니다.

따라서 레온티에프 함수의 PCC는 일차함수입니다.

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2) 소득소비곡선

소득소비곡선은 x재에 대한 최적수량에서 M 자리에 y*에 대한 함수를 집어넣으면 됩니다. 그러면 역시 PCC와 동일한 함수식을 얻게 되고, 똑같은 선형 함수가 됩니다.

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3) 엥겔곡선

최적 X재 소비량을 보면 X는 M에 대한 일차함수이므로, 1차함수로 표현됩니다.

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다음에는 선형효용함수와 준선형 효용함수의 가격소비곡선, 소득소비곡선, 엥겔곡선을 구해보겠습니다.

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오류사항이나 궁금한 점이 있으면 댓글 달아주세요~~!

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