[소비자이론] 효용함수와 무차별곡선

소비자이론의 시작은 효용의 개념이해입니다

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효용(utility)이란 특정한 상품묶음이 소비자에게 주는 만족감의 정도라고 할 수 있는데요,

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쉽게말하면 어떤 재화(물건)나 용역(서비스)이 소비자에게 주는 만족감의 크기라고 생각하면 됩니다.

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효용함수(utility function)는 특정한 상품묶음이 소비자에게 주는 만족감의 정도를 하나의 값에 대응시킨 함수를 가리킵니다.

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라고 할 수 있습니다. 이때 R은 실수값이라는 의미이고, n은 상품의 수, 그리고 +는 기본적으로 상품의 수가 0이상의 수이기 때문에 양수에서 정의됩니다.

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다만 효용의 크기 자체는 양수일수도 있고 음수일 수도 있기 때문에 양의실수 집합에서 실수전체 집합으로 대응됩니다.

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효용함수에서 나아간 개념이 효용곡면입니다. 효용곡면(utility surface)은 두 상품 x, y에 대해서 각 상품묶음이 가져다주는 효용의 수준을 높이축으로 해서 효용의 수준을 표시한 곡면을 가리킵니다.

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그래프로 표현하면 다음과 같습니다.

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x축과 y축을 각각의 재화라고 생각하고, z축은 효용의 크기라고 생각하겠습니다.

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그러면 각각의 재화묶음에 따라 하나의 효용값이 생길 것입니다.

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이를 표현한 것이 효용곡면이고, 그림에서는 초록색으로 표현되어 있습니다.

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이때 한 효용의 크기 u0에 대해서 효용곡면을 잘라보면 연한 빨간색과 같은 곡선을 하나 얻을 수 있습니다.

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그리고 이 곡선을 3차원 상이 아니라 2차원의 x, y축에 그대로 표현할 수 있는데 이를 무차별 곡선이라고 합니다.

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이를 2차원으로 나타낸 게 다음과 같은 그림입니다.

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무차별곡선(indifference curve)이란 ① 효용곡면을 일정한 높이에서 수평으로 잘라서 나타난 단면을 지도의 등고선과 같이 나타낼 때의 개별적인 등고선입니다.

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그런데 좀 더 직관적으로 정의한 다음의 의미로 기억하시면 좋겠네요.

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무차별곡선은 ② 소비자에게 똑같은 수준의 효용을 주는 상품묶음들의 집합을 연결시킨 곡선입니다.

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그래서 무차별곡선상에 있는 상품묶음들의 점은 어떤 상품묶음을 택하든 효용이 같습니다.

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위의 그림에서 점A와 점B는 같은 무차별곡선상의 점이기 때문에 두 상품묶음이 주는 효용은 같습니다.

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이제 무차별곡선의 특징을 알아보기 전에 선호체계의 일반적인 가정들을 먼저 살피겠습니다.

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선호체계의 가정은 수학적인 증명이 되지만, 너무나도 복잡한 관계로(...)

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공리라고 생각하고 받아들이면 좋을 것 같습니다.

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1. 반사성(reflexiveness) : 어느 소비계획은 그 자신보다 약하게 선호된다. 즉 u(X)>=u(X)이다.

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2. 완비성(completeness) : 모든 재화에 대해 소비자의 선호표시가 가능하다.

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즉, 임의의 상품묶음 A, B에 대해서 u(A)>u(B), u(A)=u(B), u(A)<u(B) 중 하나가 성립한다.

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3. 이행성(transitivity) : 세 상품 F, G, H에 대해서 u(F)>=u(G), u(G)>=u(H)라면 u(F)>=u(H)이다.

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4. 연속성(continuity) : 두 상품묶음의 양에 아주 작은 차이만 있다면 이들에 대한 소비자의 선호도에도 아주 작은 차이만 있다.

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5. 강단조성(strong monotonicity) : 두 상품묶음 A=(a1, a2, ... an)과 B=(b1, b2, ..., bn)에 대해서

a1​ ≥ b1​,    a2​ ≥ b2​, ..., an​ ≥ bn​​이면 u(A) >= u(B)이다.

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즉, 상품의 양이 많으면 많을수록 선호가 늘어난다.

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6. 강볼록성(strong convexity) : 원점에 대해 볼록한 무차별곡선

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이를 선호체계의 기본적 가정이라고 하면 무차별곡선의 특징은 다음과 같습니다.

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1. 임의의 상품묶음에 대해 그 상품묶음을 지나는 무차별곡선을 그릴 수 있다.

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2. 무차별곡선의 기울기는 음수이다.

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- 강단조성 가정에 따라서 어떤 재화묶음이 절대적으로 많거나 적은 묶음과 같은 효용을 주지 않는다.

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- 따라서 특정 상품묶음을 기준으로 2사분면이나 4사분면 방향으로만 동일한 효용의 상품묶음이 있다.

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3. 무차별곡선은 서로 교차하지 않는다.

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- 무차별곡선이 교차한다는 것은 하나의 상품묶음에 두 가지의 효용이 있을 수 있다는 것이다.

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- 그러나 하나의 상품묶음에는 하나의 효용으로만 정해지므로 서로 교차할 수 없다.

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4. 원점에서 멀리 떨어진 무차별곡선일수록 효용수준이 높다.

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5. 무차별곡선은 원점에 대해 볼록하다.

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그렇지만, 몇 가지에 대해서는 특징이 다른 특수한 무차별 곡선도 있습니다.

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예를 들어, 재화가 많을수록 선호가 높다는 강단조성을 무시하는 경우가 있습니다.

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① 중립재인 경우 ② 비재화인 경우 ③ 포화점이 있는 경우가 대표적입니다.

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중립재란 재화의 양이 늘어도 선호가 증가하지 않는 재화이며, 비재화는 재화의 양이 늘면 선호가 떨어지는 재화입니다.

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비재화의 대표적 예시가 쓰레기와 같은 부정적인 재화입니다.

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위 그림에서 Y는 비재화이고, X는 정상적인 재화입니다.

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X재화가 늘어났을 때 Y가 줄어들면 효용이 늘어나므로 동일한 효용이 되려면 Y도 늘어야 합니다.

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포화점이 있는 재화는 재화가 더이상 늘어나도 효용을 늘려주지 않는 재화입니다.

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예를 들어 음식은 일정 이상이 되면 사람에게 아무 효용을 주지 못합니다.

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또다른 가정인 연속성의 공리를 위반하는 경우로 사전편찬식 선호(lexicographic preference ordering)이 있습니다.

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사전편찬식 선호란 다른 재화의 양과 관계없이 특정재화의 선호에만 영향을 받는 선호체계를 말합니다.

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즉, 사전처럼 ㄱ, ㄴ, ㄷ 순서대로 선호가 정해지는 선호입니다.

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사전편찬식 선호가 되면 무차별곡선은 다음과 같이 수직선 또는 수평선 형태가 됩니다.

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그리고 이때 Y는 중립재가 됩니다.

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다음에는 한계효용체감 및 한계대체율의 체감에 대해서 알아보겠습니다.

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궁금하거나 정정해야 할 사항이 있으면 댓글로 알려주시면 답변드릴게요~

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