[경제성장론] 94. 솔로우 모형의 도출

이번 글은 경제성장론의 첫 번째 시간으로 솔로우 모형에 대해서 기본적인 사항들을 알아보겠습니다.

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경제성장론은 기존의 자본주의에 따른 안정적인 성장경로에 대한 설명력이 한계에 달하면서 어떻게 하면 경제를 성장, 발전시킬 수 있는지를 탐구하는 분야입니다. 특히 신고전학파가 발달하면서 생산요소의 기술적 대체가 가능하다고 전제하고 경제성장을 위한 요소들을 도출하기 위해 경제성장론이 대두되었습니다.

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국가별 경제성장에 대해서 경제학자 칼도(N.Kaldor)는 다음의 정형화된 사실(stylized facts)이 널리 알려져 있습니다.

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1. 1인당 소득(y)은 지속적으로 증가하며, 생산성 증가율은 감소하지 않는다.
2. 자본계수(K/Y)는 대체로 일정하다.
3. 1인당 자본량(k)은 지속적으로 증가한다.
4. 자본수익률은 대체로 일정하다.
5. 총소득 중 노동소득과 자본소득이 차지하는 비중은 대체로 일정하다.
6. 국가 간 생산성 증가율에는 큰 차이가 있다.

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칼도의 정형화된 사실을 설명하는 여러 가지 이론들이 등장하기 시작했는데, 대표적인 것이 신고전학파 경제성장론 중 하나인 솔로우 모형(Solow's model)입니다.

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솔로우 모형의 기본 가정은 다음과 같습니다.

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1. 투자와 소비로 동시에 사용될 수 있는 한 종류의 재화를 생산하는 1개 부문으로 구성
2. 폐쇄경제를 가정하며, 정부부문은 무시
3. 저축되는 산출량은 모두 투자로 전환, 즉 저축과 투자는 항상 일치하며 솔로우 모형에서는 별개의 투자함수가 존재하지 않음
4. 경제성장의 장기적 측면을 강조하므로, 완전가격 신축성과 화폐중립성 가정이 적용되며 경제는 항상 자연수준의 산출량을 생산
5. 기술진보율, 인구증가율, 자본의 감가상각률 모두 외생적으로 결정
6. 생산기술은 규모수익불변이고, 한계수확체감법칙 적용

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이제 위 가정을 전제로 솔로우 모형의 장기 균제 조건을 찾아보겠습니다.

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앞으로 여러 가지 문자들이 나올텐데 헷갈리지 않도록 미리 정리하고 가면 다음과 같습니다.

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N : 노동량, n : 인구성장률, K : 자본량, k : 1인당 자본,

 

s : 저축률, δ : 감가상각률, E : 기술진보, g : 기술진보율

 

F(*) : 생산함수, f(*) : 1인당 생산함수, Y : 총생산량, y : 1인당 생산량

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솔로우 모형에서 장기 균제 조건(steady state)이란 1인당 산출량이나 자본량, 소비 등이 일정 수준으로 성장하는 상태를 뜻합니다. 사실 1인당 산출량은 인구성장률이 n으로 정해져 있기 때문에 1인당 자본량이 균제 상태가 되면 1인당 산출량도 마찬가지로 성장률이 일정 수준을 유지하게 됩니다.

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따라서 솔로우 모형의 장기 균제 조건은 1인당 자본(k)의 성장률이 0인 상태가 됩니다.

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이제, 생산함수는 Y=F(L,K)이고, 저축 S=sY, 자본 Kt+1-Kt=I-δKt, 인구 수 Nt+1-Nt=1+n이라고 가정하겠습니다.

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다음이 성립하는 상태에서 1인당 자본의 성장률은 다음과 같이 유도됩니다.

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(방식 1) 1인당 자본 변화량 정의 식을 미분의 성질을 활용하여 정리

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(방식 2) 1인당 자본 정의 식에서 양변 자연로그를 취한 후 정리

 

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두 가지의 다른 방법으로 시작했지만 결론은 다음으로 동일합니다.

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이 모습을 그래프로 그려보면 다음과 같습니다.

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생산함수는 한계생산체감을 하므로 sf(k)함수는 위 그림에서처럼 기울기가 점차 감소하는 형태의 곡선이 되며, (n+δ)k는 각각이 모두 외생변수인 상수이므로 일차함수의 형태가 됩니다.

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의미적으로 sf(k)는 생산함수에 저축률을 곱한 것으로 1인당 기준으로 자본이 쌓이는 속도라고 생각하면 됩니다.

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반면에 (n+δ)k는 1인당 자본이 소진되는 속도인데 구체적으로 nk는 인구가 증가함에 따라 새로운 노동자에게 제공되기 위해 필요한 자본규모이고, δk는 감가상각으로 사라지는 자본을 대체하기 위해 필요한 자본규모입니다.

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따라서 k가 낮을 때는 (n+δ)k보다 sf(k)가 커서 1인당 자본량이 쌓이는 속도가 빨라 성장이 계속 이루어집니다. 그러다가 일정 수준에 도달하여 두 크기가 동일해지면 자본이 쌓이는 것과 소진되는 것이 동일해 균제 상태를 유지합니다.

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만약 외부충격으로 일시적으로 1인당 자본 규모가 k*보다 커진다고 할지라도 자본의 소진이 축적보다 빠르므로 장기적으로 k*로 도달하게 됩니다.

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위 식을 토대로 장기균제상태를 정리하면 다음과 같습니다.

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이 모형은 안정적인 경제성장에 대한 이론적 설명이 가능하지만, 1인당 자본과 소득의 성장을 설명하기가 어렵다는 문제가 있습니다.

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그래서, 단순한 솔로우 모형의 문제점을 보완하기 위해 기술진보라는 변수를 도입해보겠습니다.

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기술진보는 노동력의 한계생산성을 높여주는 것이므로 기술진보가 고려된 모형은 생산함수가 다음과 같이 변화합니다.

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Y=f(N, K) → Y=f(EN, K)

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그리고 이 모형에서 기술진보의 변화율과 유효노동 1단위당 자본은 다음과 같이 정의할 수 있습니다. 기술진보가 노동력의 변수에 반영되었으므로 이제 자본의 성장은 유효노동 단위당 기준으로 파악할 수 있습니다.

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이제 기술진보를 고려한 모형에서 유효노동 1단위당 자본이 어떻게 변화하는지 알아보겠습니다.

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이때 1인당 자본의 변화율에 관련된 각 항들을 분석하면 다음과 같습니다.

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sf(k) : 새로 증가하는 유효노동 1단위당 설비

nk : 전입인구에게 똑같이 갖추게 하기 위한 필요 크기

δk : 감가상각되는 자본을 대체하기 위해 필요한 크기

gk : 기술진보로 인해 새롭게 발생하는 유효 노동자에게 제공하기 위한 자본의 크기

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이렇게 기술진보를 도입하게 되면 기존에 설명하지 못했던 1인당 자본과 소득의 성장에 대해서도 정형화된 사실을 뒷받침할 수 있게 됩니다.

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하지만, 솔로우 모형은 기본적으로 저축률 ,인구증가율, 감가상각률, 경제성장률을 외생변수로 보았기 때문에 성장의 근원이 무엇인지에 대한 설명이 불가능합니다. 또한, 실증적으로는 수렴가설에 대한 설명이 부족하고 국가별로 소득격차가 확대되는 현상에 대해서도 설명이 부족합니다.

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다음 시간에는 솔로우 모형에서 외생변수의 변화에 따른 그래프 변화를 살펴보겠습니다.

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