[생산자이론] 비용함수와 공급함수 유도

이번 시간에는 생산함수를 활용해서 비용함수와 공급함수를 유도하는 방법을 살펴보겠습니다.

물론 다들 알고 있겠지만, 각 함수별로 가지는 독립변수들은 다음과 같습니다.

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생산함수 : Q=f(L,K)

비용함수 : C=f(w,r,Q)

공급함수 : P=f(w,r,Q)

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1. 생산함수 → 장기비용함수 유도

생산함수에서 장기비용함수를 유도하기 위해서는 먼저 생산함수에서 조건부요소수요함수를 유도해야합니다.

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조건부 요소수요함수(Conditional factor demand)는 비용극소화가 달성될 때 요소의 최적해를 말합니다.

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조건부 요소수요함수는 비용극소화를 통해서 L=f(w,r,Q), K=f(w,r,Q) 형태로 유도되므로 이를 다시 목적식에 대입하면 장기비용함수를 구할 수 있습니다.

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이제 대표적인 생산함수 형태별로 장기비용함수를 살펴보겠습니다.

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1) Q=L^0.5K^0.5 (콥-더글라스 생산함수)

한계기술대체율의 값과 요소가격의 상대적비율이 동일한 1계 조건이 만족할 때 wL=rK가 성립하며 이를 다시 생산함수에 대입하면 조건부 요소수요함수를 아래와 같이 유도할 수 있습니다.

이제 유도된 조건부 요소수요함수를 비용함수인 wL+rK에 대입하면 장기비용함수는 다음과 같이 정리됩니다.

2) Q=min[L,K] (레온티에프 생산함수)

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3) Q=L+K (선형 생산함수)

여기서 비용함수가 레온티에프 모양이라는 것은 아니고 비용함수는 선형이되, 그 계수가 minimum 함수에 의해 정해진다는 의미입니다.

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2. 생산함수 → 단기비용함수 유도

단기비용함수는 MRTS=w/r 조건을 이용하는 것이 아니라 K를 고정요소로 두고, L를 가변요소로 보아 제약식을 L에 대한 함수로 정리한 후 비용함수에 대입하면 됩니다.

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예컨대 생산함수가 콥-더글라스 형태의 일종일 때 단기비용함수는 다음과 같습니다.

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3. 생산함수 → 단기공급함수 유도

단기공급함수는 생산량과 자본량이 고정되어 있는 상황에서 기업의 이윤을 극대화하는 수량과 가격의 관계이므로, 이윤식 TR-TC을 극대화하는 조건을 유도하면 되겠습니다. 이때 단기공급함수이므로 단기비용함수를 이용해서 공급함수를 구합니다.

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예를 들어 위의 생산함수와 단기비용함수를 활용한다면, 결과는 아래와 같습니다.

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결과에서 알 수 있듯이 단기공급함수는 단기비용함수를 미분한 것으로서 단기한계비용(SMC)과 동일합니다.

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4. 생산함수 → 장기공급함수 유도

장기공급함수는 단기공급함수와 마찬가지로 이윤극대화 식을 활용하되 제약조건식을 단기비용함수가 아닌 장기비용함수로 하면 되겠습니다.

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예시로 사용하는 생산함수에 대해서 조건부요소수요함수와 장기비용함수를 구하면 아래와 같습니다.

이제 해당하는 장기비용함수를 이윤식에 대입해서 이윤을 극대화하는 값을 구하면 됩니다.

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결과에서 알 수 있듯이 장기공급함수는 장기비용함수를 미분한 것으로서 장기한계비용(LMC)과 동일합니다.

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비용함수 식에 대해서 좀 더 알아보면 비용함수가 C=F(w,r,Q)인데 만약 C=f(w,r)g(Q) 형태로 분리가 가능하다면, f(w,r)은 요소간 결합 방식, g(Q)는 규모의 경제 여부를 함의합니다.

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예컨대 콥더글라스 생산함수의 경우 비용함수는 다음과 같습니다.

이때 앞의 계수는 요소간 결합방식이 곱으로 되어 있어 상호간 어느정도 대체가 가능함을 의미하며, Q는 차수가 1차로 규모의 경제가 발생하지 않음(평균비용 일정)을 뜻합니다.

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다음 시간에는 이윤과 유사하지만 다른 개념인 생산자잉여와 소비자잉여에 대해서 알아보겠습니다.

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궁금한 점이나 고칠 부분은 댓글로 알려주시면 반영하겠습니다!