[게임이론] 순차게임

이제까지 정규형 게임에서 순수전략과 혼합전략 균형을 살펴보았는데, 이제는 순서가 있는 순차게임에서 균형을 살펴보겠습니다.

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순차게임(sequential game)은 경기자의 의사결정에 순서가 있는 게임을 말하는데, 여기서는 부분완전내쉬균형(Subgame Perfect Nash Equilibrium;SPNE) 개념을 활용합니다. SPNE란 순차게임의 모든 부분게임에서 내쉬균형의 요건을 만족시키는 형태의 전략 조합을 말합니다.

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그래서 순차게임에서는 역순으로 부분 게임을 실시하여 SPNE를 찾고, 계속 거슬러 올라가면서 게임 전체의 균형을 찾는 방식으로 진행됩니다.

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예를 들어 다음의 독점시장 진입 게임을 생각해 보겠습니다.

기존 독점 기업 B에 대항하기 위해 신규 기업 A가 진입 여부를 결정하려고 한다고 해보겠습니다. 독점 기업 B는 A의 진입 여부에 따라 높은 생산량으로 출혈경쟁을 유도할 수도 있고, 낮은 생산량으로 유지할 수도 있습니다.

각각의 경우에 따른 보수는 아래 그림과 같다고 해보겠습니다.

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위의 보수에서 앞의 값은 A의 보수, 뒤쪽의 값은 B의 보수입니다.

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이 상황에서 SPNE를 찾는 가장 쉬운 방법은 역진귀납(backward induction)을 쓰는 것입니다. 역진귀납은 가장 오른쪽에서부터 역순으로 균형을 찾아나가는 방식인데 먼저, 게임을 세 가지의 작은 게임으로 나눕니다.

Game1에서 B는 자신의 이윤이 더 큰 낮은 생산량을 택합니다.

반면 Game2에서는 B는 자신의 이윤이 더 크게 만들기 위해 높은 생산량을 택합니다.

이제 Game3에서는 B에 따른 선택이 정해져 있다고 생각하고 A의 선택을 정해야 합니다.

따라서 이 경우 A는 Entry(진입)를 택하게 됩니다.

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그래서 최종적으로 역진귀납을 통해 생긴 최종균형은 (Entry, Low)가 됩니다.

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순차 게임은 이렇게 역진귀납으로 푸는 것이 쉽고 빠르지만, 정규형 게임의 형태로 바꾸어서 풀어 나갈 수도 있습니다.

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위의 정규형 게임에서 HL은 A가 Entry를 택했을 때는 High(높은 생산량 전략), Stay를 택했을 때는 Low(낮은 생산량 전략)을 택했다는 의미입니다. 이렇게 각 경우를 전부 표에 넣으면 다음과 같이 되는데, 이때 내쉬균형을 찾으면 됩니다.

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먼저 A가 Entry를 한다고 했을 때, B는 LH나 LL이 자신의 최적 전략이 됩니다. 그리고 이 전략을 쓴다고 할 때 A는 Stay보다는 Entry가 유리하므로 내쉬균형이 됩니다. 따라서 (Entry, LH), (Entry, LL)이 내쉬균형입니다.

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반면 A가 Stay를 한다고 했을 때, B는 HH와 LH가 자신의 최적전략입니다. B가 HH라면 A는 Stay를 유지하지만, LH라면 A는 자신의 전략을 Entry로 바꾸는 것이 유리하므로 내쉬균형이 될 수 없습니다. 그래서 이 경우 내쉬균형은 (Stay, HH)입니다.

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그런데 이렇게 정규형 게임으로 하면 균형이 (Entry, LH), (Entry, LL), (Stay, HH)로 역진귀납 때보다 더 많은 균형이 나오는 것으로 보입니다. 여기서 (Entry, LH)와 (Entry, LL)은 사실상 같은 케이스입니다. Entry이면 낮은 생산량을 택한다는 점에서 동일한 전략입니다.

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그럼에도 균형이 2개인 것처럼 보이는데 이는 가짜 균형 때문입니다. 이때 가짜 균형을 판단할 기준이 바로 신빙성입니다. 신빙성(credibility)은 경기자가 자신의 전략선택 순서에서 실제로 자신이 약속한 전략을 실제로 사용하는 것이 스스로에게도 유리할 때 신빙성이 있다고 이야기합니다.

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예를 들어 (Stay, HH)의 경우 기존 독점기업B는 자신이 높은 생산량을 선택할 것이라고 신규 기업에게 위협을 가하여 자신의 이익을 관철시키는 전략입니다. 하지만, 이 전략은 Entry여도 높은 생산량을 유지하겠다는 것인데 Entry일 경우 앞에서 얘기한 것처럼 Low가 균형이므로 HH전략은 사실상 지킬 수 없는 신빙성이 없는 전략입니다.

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그래서 이런 전략은 기존 기업이 신규 기업의 진입을 막는 헛된 위협(empty threat)에 해당합니다.

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다음 시간에는 불완전/불비정보게임에 대해서 살펴보겠습니다.

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