[게임이론] 불완전/불비 게임(정보와 게임)

이제까지 우리는 게임이론에서 순수전략균형, 혼합전략균형 그리고 순차게임에서 균형을 차례로 살펴봤습니다.

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이 외의 내용들은 우리가 배운 기초적인 내용을 가지고 응용을 하는 것인데, 여기서는 불완전 정보게임 및 불비 정보게임에 대해서 다루어 보겠습니다.

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먼저 불완전정보게임(game of imperfect information)이란 상대방의 선택을 알지 못하는 동시선택 게임 또는 자신이 게임나무의 어디에 위치하는지 모르는 상황의 게임을 말합니다. 즉 이 경우는 경기자별로 어떤 선택지가 있는지는 알지만 어떤 상황에 본인이 처해 있는지를 모르는 경우를 말합니다.

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그리고 불비정보게임(gmae of incomplete information)은 보수체계나 선택가능한 행동 등에 대해서 정확한 정보가 제공되지 않은 경우를 말합니다. 따라서 이 경우는 경기자가 어떤 선택을 할 수 있고 그 결과가 무엇인지에 대해 정확히 알 수 없는 경우를 말합니다.

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예를 들어 독점시장의 신규 기업 진입의 의사결정 게임을 진행한다고 해보겠습니다.

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이는 순차게임의 경우와 동일한데, 여기에 하나 변수로 신규로 진입하는 기업의 한계비용이 낮은지 높은지를 알 수 없다고 해보겠습니다. 그러면 게임의 형태는 이렇게 표현 가능합니다.

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기업 A의 한계비용이 높을지 낮을지 알수 없는 상태이지만, 각각의 경우에 대해서 기업의 선택에 따른 예상 보수는 다음과 같이 정해져 있다고 하겠습니다. 그러면 이 게임은 불완전정보게임이지만, 완비정보게임에 해당합니다.

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이제 우리가 궁금한 점은 과연 한계비용이 높을 확률이 얼마 이상이 되어야 기업 A가 진입할 것인가입니다. 이는 기업 A뿐 아니라 기업 B의 의사결정에서도 중요합니다.

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확률 p를 구하기 위해서 먼저 각각의 비용일 때에 내쉬균형을 찾아야 합니다.

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순차게임에서는 앞서 살펴보았듯이 역진귀납을 통해서 균형을 찾을 수 있습니다.

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1) 높은 비용 : 균형 = (Entry, Low)

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높은 비용일 때, B는 Entry일 때는 Low, Stay일 때도 Low를 택합니다. 따라서 A는 B가 항상 Low를 선택한다는 전제 하에서 자신의 보수를 극대화하는 Entry를 택합니다.

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2) 낮은 비용 : 균형 = (Stay, High)

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낮은 비용일 때, B는 Entry일때 High, Stay일 때도 High를 택합니다. 이제 A는 B가 항상 High를 택한다는 전제 하에서 자신의 보수를 극대화하는 Stay를 택합니다.

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이제 Entry를 택할 때 A의 기대보수와 Stay를 택할 때 기대보수를 계산해보겠습니다.

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만약 Entry를 택할 경우, A의 기대보수는 높은 한계비용(p)에서는 4, 낮은 한계비용(1-p)에서는 -3입니다. 그래서 Entry의 기대보수는 다음과 같습니다.

이제 Stay를 택할 경우, A의 기대보수는 높은 한계비용(p)에서는 0, 낮은 한계비용(0)에서도 0이므로 Stay의 기대보수는 다음과 같이 구해집니다.

기업은 Entry가 더 이익이어야 진입하므로 E(Entry)≥E(Stay)여야 합니다.

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따라서 기업 A가 진입을 선택하기 위한 최소확률 p=3/7이 됩니다.

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그러면 불완전/불비정보 게임인 상황에서 정보를 많이 보유할수록 유리할까요?

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대부분의 경우에 정보가 많을수록 본인에게 유리한 결과를 얻을 것이라 생각할 수 있지만, 반드시 그렇지는 않습니다.

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두 경기자 중 한 경기자만 정보를 갖고 있을 경우 한 경기자가 특정 정보를 가지고 있다는 사실이 공통의 지식(common knowledge)이라면 정보를 아는 경기자의 보수가 더 유리해질 것이라고 장담할 수 없습니다.

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예컨대 경기자 A와 경기자 B가 2개의 게임 중 어느 상황에 놓일지 모르는 불완전게임에 있다고 해보겠습니다.

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각 게임에서 얻는 보수는 다음과 같고 각 게임에 놓일 확률은 0.5입니다.

여기서 아무 정보가 없다면 각 경기자는 자신의 기대보수를 극대화하는 방향으로 의사결정을 할 것입니다.

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각 게임의 전략조합별 기대보수를 표로 나타내면 다음과 같습니다.

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이 게임에서 내쉬균형을 찾아보면 A가 X를 택한다면 B는 L을 택할 것이고, 이 경우 A는 Y를 택할 것입니다. 그러면 B는 자신의 선택을 바꿀 유인이 없습니다. 그래서 내쉬균형은 (Y, L)=(8,8)이 됩니다.

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이제 상황을 조금 바꿔서 경기자 B가 미래 게임의 정보를 알고 있다면 경기자 2는 자신이 게임1 또는 게임2에서 자신이 가질 최적의 전략을 세우게 됩니다. 따라서 경기자 A는 경기자 B가 미래를 알고 B 입장에서 최적을 택할 것이라고 생각하고 자신의 전략을 세웁니다.

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예를 들어 게임 1에서 경기자 B는 A의 전략과 관계없이 전략 R이 최적 전략입니다.

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또한 게임 2에서 경기자 B는 경기자 A의 전략과 관계없이 전략 M이 최적 전략입니다.

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이제 경기자 A는 경기자 B가 R 또는 M을 택할 때 최적전략을 찾아야 하는데 이때 최적 전략은 X입니다.

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따라서 경기자 B가 미래 게임에 대한 정보를 갖고 있을 때 내쉬 균형은 (T,[R,M])=(4,3)이 됩니다.

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이렇게 경기자 B가 정보를 더 가지고 있음에도 불구하고 정보가 없을 때에 비해 더 낮은 보수를 얻게 됩니다.

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이는 둘 다 정보가 없을 때는 상황을 알 수 없기 때문에 무난한 보수조합을 택하게 되지만, 경기자 B가 정보를 갖게 되면 자신의 정보를 바탕으로 자신의 이익을 극대화하는 선택을 하게 되고, 이를 고려해서 상대방들도 자신의 이익을 지키기 위한 조합을 택해 사회적으로 유익하지 않은 결과를 초래하게 됩니다.

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다음 시간에는 행동경제학과 관련된 내용을 살펴보겠습니다.

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궁금한 점이나 지적할 부분이 있는 경우 알려주시면 반영하겠습니다.