[심화] 요소수요곡선에 대한 수학적 도출

이번 글에서는 요소수요곡선에 대한 두 가지 성질

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1. 생산요소의 수요곡선은 반드시 우하향한다.

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2. 장기노동수요곡선의 기울기는 더 완만하다.

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에 대해서 수리적으로 어떻게 도출할 수 있는지를 살펴보겠습니다.

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전체적인 내용은 다음 글을 참고해주세요.

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[요소시장이론] 요소수요함수 분석 : https://fromonetoten.tistory.com/78

 

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생산물시장 공급자가 독점인 경우에는 요소수요곡선이 존재하지 않으므로 생산물시장 공급자가 경쟁적이라고 가정하겠습니다. 이때 기업의 이윤과 이윤극대화 1계식은 다음과 같습니다.

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이계도함수 2계조건은 극댓점이 존재해야한다는 것인데, 이를 다변수함수에서는 헤세행렬(Hessian matrix)을 통해서 판단해보면 다음과 같습니다.

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이제 수요곡선 기울기를 판단하기 위해서 1계조건을 전미분해보겠습니다.

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전미분한 결과를 행렬로 정리한뒤, dL/dw와 dK/dw로 표현하면 다음과 같습니다.

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여기서 우리는 몇 가지 사실을 확인할 수 있습니다.

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1. 생산요소의 수요곡선은 반드시 우하향한다.

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2계 조건에 의해 FLLFKK-FLK2은 반드시 양수이고, FKK는 반드시 음수이므로, dL/dw는 반드시 음수입니다.

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2. 장기노동수요곡선의 기울기는 더 완만하다.

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위에서 구한 수요곡선의 기울기는 다른 생산요소(자본)까지 고려한 장기노동수요곡선의 기울기입니다.

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만약 단기라면, 노동자체만 고려할 것이므로 단기노동수요곡선의 기울기는 1/pFLL이 될 것입니다.

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이제 단기수요곡선에서 장기수요곡선의 기울기를 빼보면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

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여기서 x축에 노동(L), y축에 요소가격(w)이 들어가므로, dLl/dw의 값이 더 크다는 것은 기울기는 더 완만하다는 의미입니다.

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여기까지 요소수요곡선에 대한 성질을 수학적으로 보여보았습니다.

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궁금하거나 수정이 필요한 부분은 댓글 달아주시면 반영하겠습니다.