[시장균형이론] 탄력성이론의 응용

지난 시간에는 탄력성의 정의와 의미, 그리고 수식을 활용해서 그래프상에서 직관적인 크기 비교를 해봤습니다.

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[시장균형이론] 탄력성 기초이론 : https://fromonetoten.tistory.com/37

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이번에는 좀 더 수식과 직관을 활용하여 탄력성과 관계된 여러 의미를 도출해보겠습니다.

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1. 개별 탄력성과 시장탄력성의 관계

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개인 A(Q1,P1), 개인 B(Q2,P2)의 탄력성과 합산되었을 때 시장탄력성간 관계를 알아보겠습니다.

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먼저 우리는 시장에서 수요공급의 합은 가격이 아니라 수량 기준으로 합산한다는 사실을 알고 있습니다.

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[시장균형이론] 수요공급곡선의 이동과 합산 : https://fromonetoten.tistory.com/36

 

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이를 다시 상기해보면

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Q*=Q1+Q2, P*=P1=P2

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이므로 시장의 수요탄력성 εP는 다음과 같이 정리됩니다.

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그래서 시장 전체 수요의 가격탄력성은 부분탄력성 간에 수량을 기준으로 가중평균한 것과 같습니다.

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2. 2재화 모형에서 재화간 탄력성 관계

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예산제약식을 활용해서 유의미한 식을 아래와 같이 유도할 수 있습니다.

여기에서 좌변에 탄력성을 만들어주기 위해서 M/(dM×X)를 곱하고 다시 역수를 곱해주면, 위 식은 아래와 같이 변형됩니다.

이제 이 식을 탄력성에 관해 정리하고 남은 식들도 정리하면 다음과 같이 됩니다.

이때 Sx, Sy는 전체 소득에서 각 재화에 소비하는 비중을 말합니다.

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따라서 Sx+Sy=1이므로 만약 x재가 소득탄력성이 1보다 크면 y재의 소득탄력성은 1보다 작아야합니다. 왜냐하면 수식을 아래와 같이 변형하면 1은 x재의 소득탄력성과 y재의 소득탄력성 간 가중평균(또는 내분점)의 결과이기 때문입니다.

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3. 슬러츠키 방정식과 탄력성의 관계

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우리는 앞서 슬러츠키 방정식을 공부했었습니다.

슬러츠키 방정식은 아래와 같은데,

양변에 -Px/X를 곱해서 정리하면 다음과 같습니다.

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4. 수요함수의 지수와 탄력성의 크기의 관계

위와 같은 형태의 수요함수가 있다고 가정하겠습니다. 이 수요함수가 갖는 의미를 탄력성을 활용하여 살펴보겠습니다.

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1) 가격탄력성

2) 소득탄력성

3) 교차탄력성

이렇게 자연로그의 미분값 비율이 탄력성과 동일함을 알 수 있습니다.

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다만 자연로그 미분을 통해 탄력성을 구할 경우, 주의해야 할 것은 가격, 소득 등 모든 변수들을 자연로그를 기준으로 미분해야한다는 것입니다.

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예컨대 다음의 수요함수가 있다고 가정해보겠습니다.

위 형태의 함수에 자연로그를 취하면 다음과 같이 됩니다.

이제 편미분 값을 구하기 위해 다음을 구하면,

이 됨을 알 수 있습니다.

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5. 총수입극대화와 탄력성의 관계

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일전에 이윤극대화에 대해서 논의할 때 Amorso-Robinson 공식을 본 적이 있습니다.

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[생산자이론] 생산자의 이윤극대화 : https://fromonetoten.tistory.com/32

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여기서는 총수입극대화의 측면에서 다루어보겠습니다.

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TR = P×X이므로 탄력성의 정의를 생각했을 때, 탄력성의 크기가 1보다 크다면 P가 상승하는 것에 비해서 X가 줄어드는 것이 훨씬 크므로 총수입은 줄어들 것입니다. 반면 탄력성이 1보다 작다면 P가 상승하는 것에 비해 X가 적게 줄어드므로 총수입은 상승합니다. 이 내용을 정리하면 아래 표와 같습니다.

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수리적으로는 총수입을 가격으로 미분하면 다음과 같이 확인할 수 있습니다.

따라서 가격을 변수로 하더라도 탄력성이 1일 때 총수입이 극대화됨을 알 수 있습니다.

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다음 시간부터는 조세이론 중 조세의 의미와 귀착에 대해서 알아보겠습니다.

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궁금한 사항이나 지적할 사항은 댓글로 알려주시면 반영하겠습니다!