[미시적기초-노동] 62. 다기간 노동시장 모형의 수식적 접근

[알아가자]경제학/[알아가자]거시경제학 2023. 7. 30. 13:50

이번 시간부터는 거시경제학의 미시적 기초 중에서 노동시장에 대해 알아보겠습니다.

미시적 기초에 기반한 노동시장 모형은 미시경제이론에서 요소시장에서의 분석과 거시경제이론에서 배웠던 실업인플레이션 이론에 대한 기본적인 이해가 필요합니다. 만약 이 부분에 대한 이해가 필요하다면 다음 글들을 참고해주세요

[실업인플레이션이론] 33. 실업률의 정의와 유형

이번 시간부터는 실업인플레이션 이론에 대해서 살펴보겠습니다. 그 중에서 이 글에서는 실업률과 실업의 형태 등 실업에 대한 기본적인 내용들을 알아보도록 하겠습니다.

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[심화] 요소수요곡선에 대한 수학적 도출

이번 글에서는 요소수요곡선에 대한 두 가지 성질 1. 생산요소의 수요곡선은 반드시 우하향한다. 2. 장기노동수요곡선의 기울기는 더 완만하다. 에 대해서 수리적으로 어떻게 도출할 수

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이번시간은 미시적 기초에 기반한 노동시장의 첫 번째 분석으로서 다기간 노동시장 모형에 대해 알아보겠습니다.

이하 아래의 내용이 어렵다면 각 노동수요자와 공급자의 목적식 및 제약식 정도만 이해하고 넘어가고, 그래프에 대한 이해까지 마무리하고 나서 다시 보시기를 추천합니다.

노동시장을 분석하기 위해서는 노동수요와 노동공급에 대해 분석해야 하는데, 먼저 노동수요(고용주)의 입장에서 노동수요는 다음과 같이 정해집니다.

노동 수요자의 입장에서 자신이 극대화할 것은 이윤입니다. 여기서는 다기간 모형이므로 다기간 이윤을 고려하는데 이 글에서는 2기간으로 감안하겠습니다. 2기간 이윤에서 할인율은 이자율이 되고, 이 때 제약식은 기간간 생산함수 식이 제약이 됩니다.

이제 각 기간의 이윤을 설명하면 다음과 같습니다.

1기에는 가격(P)을 1이라고 가정하면, 1기의 매출 크기는 생산량(Y1)과 동일하며, 비용은 1기 노동량에 대한 임금지급(w1N1)과 1기 투자(I)에 해당합니다.

2기에는 2기의 매출액(Y2)에서 노동에 대한 비용(w2N2)을 제외하고 감가상각된 자본을 처분했을 때의 수익((1-d)K2)을 합친 값입니다.

이때 1,2기의 이윤을 1,2기의 노동량으로 편미분하면, 각 기간에서의 노동생산성은 각 기간의 임금수준과 동일함을 알 수 있습니다.

반면 노동공급(노동자)의 입장에서 다기간 분석은 다음과 같이 정해집니다.

노동공급자 입장에서는 다기간의 효용을 극대화하는 것이 가장 중요합니다. 그리고 이때 미래의 효용은 할인율(ρ)을 감안하여 정해지며, 이때 효용을 정하는 것은 개인의 소비수준(C)과 여가가 되며 여가는 전체 시간에서 노동시간을 제외한 크기(L-N)에 비례하게 됩니다.

그리고 이 때의 제약은 2기간의 노동소득의 크기가 2기간의 소비수준과 동일해야 함을 뜻합니다.

이제 위 식에 라그랑지함수를 적용하면 다음과 같이 정리됩니다.

이제 위 라그랑지함수를 각 변수로 미분하면 다음과 같습니다.

이제 이 라그랑지 식을 통해서 몇 가지 사실을 도출할 수 있습니다.

1. 1기의 여가-소비간 균형

1기에서 여가-소비간 균형은 MRS에 의해 도출가능합니다.

즉 1기의 여가-소비간의 균형은 한계대체율이 1기의 임금수준에 도달하는 수준에서 최적으로 정해집니다.

2. 기간간 소비수준

1,2기 기간간의 최적소비수준은 C1, C2간의 한계대체율을 도출하여 구할 수 있습니다.

3. 기간간 여가수준

1,2기 기간간의 최적여가수준은 N1, N2간의 한계대체율을 도출하여 구할 수 있습니다.

여기까지 다기간 노동시장모형을 수식적으로 접근해보았습니다.

다음 시간에는 위와 같은 이론적 모형을 기반으로 기간간 노동공급모형을 그래프로 그려보고, 노동공급곡선이 왜 우상향하는지 등을 살펴보겠습니다.

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